Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função no domínio de Laplace:
E precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace dessa função, ou seja, descobrir qual função no tempo (geralmente representada por
) corresponde a essa expressão no domínio de Laplace. Para resolver isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que facilita a inversão de transformadas mais complexas.
Passo 2
O próximo passo é decompor a função dada em frações parciais. Isso significa quebrar a expressão original em termos mais simples que são mais fáceis de inverter. Vamos supor que:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Isso simplifica a equação e facilita a substituição de valores específicos para encontrar as constantes.
Passo 4
Vamos escolher valores de
que simplificam a equação. Primeiro, escolha
:
Dessa forma, encontramos que
.
Passo 5
Agora, escolha
para simplificar ainda mais:
Assim, descobrimos que
.
Passo 6
Para encontrar
, podemos escolher outro valor para
, como
:
Portanto,
.
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Essa forma simplificada facilita a aplicação da transformada inversa de Laplace.
Resposta
Aplicando a transformada inversa de Laplace a cada termo, obtemos:
Essa é a função no domínio do tempo correspondente à expressão original no domínio de Laplace.