Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
1(s+1)(s+2)^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função no domínio de Laplace:
1(s+1)(s+2)^2
E precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace dessa função, ou seja, descobrir qual função no tempo (geralmente representada por ) corresponde a essa expressão no domínio de Laplace. Para resolver isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que facilita a inversão de transformadas mais complexas.

Passo 2

O próximo passo é decompor a função dada em frações parciais. Isso significa quebrar a expressão original em termos mais simples que são mais fáceis de inverter. Vamos supor que:
1(s+1)(s+2)^2 = As+1 + Bs+2 + C(s+2)^2
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 1 = A(s+2)^2 + B(s+1)(s+2) + C(s+1) , e , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Isso simplifica a equação e facilita a substituição de valores específicos para encontrar as constantes.

Passo 4

Vamos escolher valores de 1 = A(-1+2)^2 + B(0) + C(0) 1 = A(1)^2 A = 1 que simplificam a equação. Primeiro, escolha :
Dessa forma, encontramos que .

Passo 5

Agora, escolha 1 = A(0) + B(-2+1)(0) + C(-2+1) 1 = C(-1) C = -1 para simplificar ainda mais:
Assim, descobrimos que .

Passo 6

Para encontrar 1 = A(0+2)^2 + B(0+1)(0+2) + C(0+1) 1 = A(4) + B(2) + C(1) 1 = 4(1) + 2B + (-1) 1 = 4 + 2B - 1 1 = 3 + 2B 2B = -2 B = -1 , podemos escolher outro valor para , como :
Portanto, .

Passo 7

Agora que temos os valores de 1(s+1)(s+2)^2 = 1s+1 - 1s+2 - 1(s+2)^2 , e , podemos reescrever a fração original:
Essa forma simplificada facilita a aplicação da transformada inversa de Laplace.

Resposta

Aplicando a transformada inversa de Laplace a cada termo, obtemos:
f(t) = e^-t - e^-2t - te^-2t
Essa é a função no domínio do tempo correspondente à expressão original no domínio de Laplace.

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