Dado o sistema com realimentação unitária com,
G(s)=K(s-2)(s+1,2)
determine a faixa de K que mantém o sistema estável e instável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema de realimentação unitária com a função de transferência:
G(s) = K(s - 2)s + 1.2
Nosso objetivo é descobrir quais valores de mantêm o sistema estável e quais fazem ele ficar instável. Para isso, vamos usar conceitos de estabilidade em sistemas de controle, especificamente o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de realimentação unitária, a função de transferência fechada é dada por:
T(s) = G(s)1 + G(s)
Para analisar a estabilidade, precisamos olhar para os polos da função de transferência fechada, ou seja, os valores de 1 + G(s) = 0 que fazem o denominador zero. Isso nos dá a equação característica do sistema:

Passo 3

Substituindo 1 + K(s - 2)s + 1.2 = 0 na equação característica, temos:
(s + 1.2) + K(s - 2) = 0
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por s + 1.2 + Ks - 2K = 0 para eliminar o denominador:
(1 + K)s + (1.2 - 2K) = 0
Expandindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos com e os termos constantes:

Passo 4

Agora, temos uma equação de primeiro grau em (1 + K)s + (1.2 - 2K) = 0 :
s = 2K - 1.21 + K
Resolvendo para 2K - 1.21 + K < 0 :
Para que o sistema seja estável, a parte real de deve ser negativa. Ou seja:

Passo 5

Vamos analisar a desigualdade:
2K - 1.21 + K < 0
Isso acontece quando o numerador e o denominador têm sinais opostos. Vamos ver os casos:
  1. Numerador positivo e denominador negativo:
    Mas não há que satisfaça e ao mesmo tempo. Então, esse caso não ocorre.
  2. Numerador negativo e denominador positivo:
    Juntando, temos

Resposta

A faixa de que mantém o sistema estável é . Para valores de fora dessa faixa, ou seja, ou , o sistema fica instável.

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