Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema de realimentação unitária com a função de transferência:
Nosso objetivo é descobrir quais valores de
mantêm o sistema estável e quais fazem ele ficar instável. Para isso, vamos usar conceitos de estabilidade em sistemas de controle, especificamente o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de realimentação unitária, a função de transferência fechada é dada por:
Para analisar a estabilidade, precisamos olhar para os polos da função de transferência fechada, ou seja, os valores de
que fazem o denominador zero. Isso nos dá a equação característica do sistema:
Passo 3
Substituindo
na equação característica, temos:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar o denominador:
Expandindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos com
e os termos constantes:
Passo 4
Agora, temos uma equação de primeiro grau em
:
Resolvendo para
:
Para que o sistema seja estável, a parte real de
deve ser negativa. Ou seja:
Passo 5
Vamos analisar a desigualdade:
Isso acontece quando o numerador e o denominador têm sinais opostos. Vamos ver os casos:
-
Numerador positivo e denominador negativo:
-
→ -
→
Mas não háque satisfaça e ao mesmo tempo. Então, esse caso não ocorre. -
-
Numerador negativo e denominador positivo:
-
→ -
→
Juntando, temos -
Resposta
A faixa de
que mantém o sistema estável é
. Para valores de
fora dessa faixa, ou seja,
ou
, o sistema fica instável.
Exercícios relacionados
A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo
.
Para um sistema com função de transferência,
Determine a resposta (estado nulo) para entrada
.
Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Considere neste caso
.
uma constante qualquer. Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando
. Instante/tempo de pico
, o tempo de subida
e o tempo de assentamento
.
Em seguida, calcule a capacitância equivalente dessa combinação em série
: