Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de que mantém o sistema estável e instável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema de realimentação unitária com a função de transferência:
Nosso objetivo é descobrir quais valores de mantêm o sistema estável e quais fazem ele ficar instável. Para isso, vamos usar conceitos de estabilidade em sistemas de controle, especificamente o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de realimentação unitária, a função de transferência fechada é dada por:
Para analisar a estabilidade, precisamos olhar para os polos da função de transferência fechada, ou seja, os valores de que fazem o denominador zero. Isso nos dá a equação característica do sistema:

Passo 3

Substituindo na equação característica, temos:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar o denominador:
Expandindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos com e os termos constantes:

Passo 4

Agora, temos uma equação de primeiro grau em :
Resolvendo para :
Para que o sistema seja estável, a parte real de deve ser negativa. Ou seja:

Passo 5

Vamos analisar a desigualdade:
Isso acontece quando o numerador e o denominador têm sinais opostos. Vamos ver os casos:
  1. Numerador positivo e denominador negativo:
    Mas não há que satisfaça e ao mesmo tempo. Então, esse caso não ocorre.
  2. Numerador negativo e denominador positivo:
    Juntando, temos

Resposta

A faixa de que mantém o sistema estável é . Para valores de fora dessa faixa, ou seja, ou , o sistema fica instável.

Exercícios relacionados

A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo .
Para um sistema com função de transferência,
Determine a resposta (estado nulo) para entrada .
Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Considere neste caso . uma constante qualquer. Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando . Instante/tempo de pico , o tempo de subida e o tempo de assentamento .
Em seguida, calcule a capacitância equivalente dessa combinação em série :