Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Considere neste caso . uma constante qualquer. Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando . Instante/tempo de pico , o tempo de subida e o tempo de assentamento .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência dada por:
O objetivo é determinar a resposta ao degrau unitário dessa função. Além disso, precisamos analisar o que acontece com a resposta em regime permanente quando e encontrar o tempo de pico , o tempo de subida e o tempo de assentamento .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de sistemas dinâmicos, como função de transferência, resposta ao degrau, e os parâmetros (frequência natural) e (fator de amortecimento).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma resposta ao degrau unitário. Quando aplicamos um degrau unitário como entrada a um sistema, estamos basicamente aplicando uma entrada que sobe de 0 para 1 instantaneamente e se mantém em 1 para . A resposta do sistema a essa entrada nos dá informações sobre como o sistema se comporta ao longo do tempo.
Para encontrar a resposta ao degrau, precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da função de transferência multiplicada pela transformada de Laplace do degrau unitário, que é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace. Podemos usar frações parciais para isso. Queremos expressar como uma soma de termos mais simples que sabemos como inverter.
Após a decomposição, teremos termos que correspondem às componentes naturais e forçadas do sistema. Isso nos permitirá encontrar a resposta no domínio do tempo.

Passo 4

Depois de decompor a fração, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo individualmente. Isso nos dará a expressão da resposta no tempo .
Para sistemas subamortecidos ( ), a resposta ao degrau contém termos oscilatórios decrescentes, que são característicos desse tipo de sistema.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com a resposta em regime permanente quando . O regime permanente é o comportamento do sistema quando tende ao infinito.
Podemos usar o Teorema do Valor Final, que nos diz que:
Substituindo na expressão de , calculamos esse limite para encontrar a resposta em regime permanente.

Passo 6

Para encontrar o tempo de pico , o tempo de subida e o tempo de assentamento , usamos as seguintes fórmulas para sistemas subamortecidos:
  • Tempo de Pico : É o instante em que a resposta atinge o primeiro máximo.
  • Tempo de Subida : É o tempo que a resposta leva para subir de 0% a 100% do valor final pela primeira vez.
  • Tempo de Assentamento : É o tempo que a resposta leva para permanecer dentro de uma certa porcentagem (geralmente 2% ou 5%) do valor final.

Resposta

A resposta ao degrau unitário para a função de transferência dada é:
Onde .
Quando , a resposta em regime permanente é 1, ou seja,
Além disso, os tempos característicos são:
  • Tempo de Pico :
  • Tempo de Subida :
  • Tempo de Assentamento :

Exercícios relacionados

Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de que mantém o sistema estável e instável.
A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo .
Em seguida, calcule a capacitância equivalente dessa combinação em série :
Suponha que um sinal de tensão senoidal de 60 Hz possua uma tensão RMS de 220V. O que acontece com o valor da tensão RMS caso a frequência dobre?