Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Considere neste caso
.
uma constante qualquer. Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando
. Instante/tempo de pico
, o tempo de subida
e o tempo de assentamento
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência dada por:
O objetivo é determinar a resposta ao degrau unitário dessa função. Além disso, precisamos analisar o que acontece com a resposta em regime permanente quando
e encontrar o tempo de pico
, o tempo de subida
e o tempo de assentamento
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de sistemas dinâmicos, como função de transferência, resposta ao degrau, e os parâmetros
(frequência natural) e
(fator de amortecimento).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma resposta ao degrau unitário. Quando aplicamos um degrau unitário como entrada a um sistema, estamos basicamente aplicando uma entrada que sobe de 0 para 1 instantaneamente e se mantém em 1 para
. A resposta do sistema a essa entrada nos dá informações sobre como o sistema se comporta ao longo do tempo.
Para encontrar a resposta ao degrau, precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da função de transferência multiplicada pela transformada de Laplace do degrau unitário, que é
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace. Podemos usar frações parciais para isso. Queremos expressar
como uma soma de termos mais simples que sabemos como inverter.
Após a decomposição, teremos termos que correspondem às componentes naturais e forçadas do sistema. Isso nos permitirá encontrar a resposta no domínio do tempo.
Passo 4
Depois de decompor a fração, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo individualmente. Isso nos dará a expressão da resposta no tempo
.
Para sistemas subamortecidos (
), a resposta ao degrau contém termos oscilatórios decrescentes, que são característicos desse tipo de sistema.
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece com a resposta em regime permanente quando
. O regime permanente é o comportamento do sistema quando
tende ao infinito.
Podemos usar o Teorema do Valor Final, que nos diz que:
Substituindo
na expressão de
, calculamos esse limite para encontrar a resposta em regime permanente.
Passo 6
Para encontrar o tempo de pico
, o tempo de subida
e o tempo de assentamento
, usamos as seguintes fórmulas para sistemas subamortecidos:
-
Tempo de Pico
: É o instante em que a resposta atinge o primeiro máximo. -
Tempo de Subida
: É o tempo que a resposta leva para subir de 0% a 100% do valor final pela primeira vez. -
Tempo de Assentamento
: É o tempo que a resposta leva para permanecer dentro de uma certa porcentagem (geralmente 2% ou 5%) do valor final.
Resposta
A resposta ao degrau unitário para a função de transferência dada é:
Onde
.
Quando
, a resposta em regime permanente é 1, ou seja,
Além disso, os tempos característicos são:
-
Tempo de Pico
: -
Tempo de Subida
: -
Tempo de Assentamento
:
Exercícios relacionados
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo
.
Em seguida, calcule a capacitância equivalente dessa combinação em série
:
Suponha que um sinal de tensão senoidal de 60 Hz possua uma tensão RMS de 220V. O que acontece com o valor da tensão RMS caso a frequência dobre?