Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
T(s)=b omegan^2s^2+2 zeta omegan s+omegan^2
Considere neste caso 0. b uma constante qualquer. Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando b=1. Instante/tempo de pico Tp, o tempo de subida Tr e o tempo de assentamento Ts.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência dada por:
T(s) = b omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
O objetivo é determinar a resposta ao degrau unitário dessa função. Além disso, precisamos analisar o que acontece com a resposta em regime permanente quando e encontrar o tempo de pico , o tempo de subida e o tempo de assentamento .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de sistemas dinâmicos, como função de transferência, resposta ao degrau, e os parâmetros (frequência natural) e (fator de amortecimento).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma resposta ao degrau unitário. Quando aplicamos um degrau unitário como entrada a um sistema, estamos basicamente aplicando uma entrada que sobe de 0 para 1 instantaneamente e se mantém em 1 para Y(s) = T(s) cdot 1s = b omegan^2s ( s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 ) . A resposta do sistema a essa entrada nos dá informações sobre como o sistema se comporta ao longo do tempo.
Para encontrar a resposta ao degrau, precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da função de transferência multiplicada pela transformada de Laplace do degrau unitário, que é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace. Podemos usar frações parciais para isso. Queremos expressar como uma soma de termos mais simples que sabemos como inverter.
Após a decomposição, teremos termos que correspondem às componentes naturais e forçadas do sistema. Isso nos permitirá encontrar a resposta no domínio do tempo.

Passo 4

Depois de decompor a fração, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo individualmente. Isso nos dará a expressão da resposta no tempo .
Para sistemas subamortecidos ( ), a resposta ao degrau contém termos oscilatórios decrescentes, que são característicos desse tipo de sistema.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com a resposta em regime permanente quando limt to infty y(t) = lims to 0 s Y(s) . O regime permanente é o comportamento do sistema quando tende ao infinito.
Podemos usar o Teorema do Valor Final, que nos diz que:
Substituindo na expressão de , calculamos esse limite para encontrar a resposta em regime permanente.

Passo 6

Para encontrar o tempo de pico Tp = piomegan raiz1 - zeta^2 , o tempo de subida Tr approx pi - arccos(zeta)omegan raiz1 - zeta^2 e o tempo de assentamento Ts approx 4zeta omegan , usamos as seguintes fórmulas para sistemas subamortecidos:
  • Tempo de Pico : É o instante em que a resposta atinge o primeiro máximo.
  • Tempo de Subida : É o tempo que a resposta leva para subir de 0% a 100% do valor final pela primeira vez.
  • Tempo de Assentamento : É o tempo que a resposta leva para permanecer dentro de uma certa porcentagem (geralmente 2% ou 5%) do valor final.

Resposta

A resposta ao degrau unitário para a função de transferência dada é:
y(t) = braiz1 - zeta^2 ( 1 - e^-zeta omegan t ( cos(omegad t) + zetaraiz1 - zeta^2 sin(omegad t) ) )
Onde limt to infty y(t) = 1 .
Quando Tp = piomegan raiz1 - zeta^2 , a resposta em regime permanente é 1, ou seja,
Tr approx pi - arccos(zeta)omegan raiz1 - zeta^2
Além disso, os tempos característicos são:
  • Tempo de Pico Ts approx 4zeta omegan :
  • Tempo de Subida :
  • Tempo de Assentamento :

Exercícios relacionados