Dado o sistema com realimentação unitária com,
G(s)=K(s+2)(s+10)(s-1,2)(s+2)
determine a faixa de K que mantém o sistema estável e instável.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de controle com realimentação unitária, ou seja, a saída do sistema é realimentada diretamente à entrada. A função de transferência do sistema aberto é dada por:
G(s) = K(s+2)(s+10)(s-1,2)(s+2)
Nosso objetivo é encontrar a faixa de valores para que mantém o sistema estável e aquela que o torna instável. Para isso, vamos utilizar o critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar a estabilidade de um sistema sem precisar calcular as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica do sistema. Como temos realimentação unitária, a equação característica é dada por:
1 + G(s) = 0
Substituindo 1 + K(s+2)(s+10)(s-1,2)(s+2) = 0 :
(s+10)(s-1,2)(s+2) + K(s+2) = 0
Simplificando a expressão:

Passo 3

Vamos expandir os termos para obter a equação característica em termos de (s+10)(s-1,2) = s^2 + (10 - 1,2)s - 12 = s^2 + 8,8s - 12 :
Primeiro, multiplicamos (s^2 + 8,8s - 12)(s+2) = s^3 + 10,8s^2 - 12s + 0 :
s^3 + 10,8s^2 - 12s + K(s+2) = s^3 + 10,8s^2 + ( -12 + K )s + 2K = 0
Agora, multiplicamos por s^3 + 10,8s^2 + ( -12 + K )s + 2K = 0 :
Adicionando a parte com :
Portanto, a equação característica fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para essa equação característica. Primeiro, montamos a tabela de Routh:
1 -12 + K
10,8 2K
10,8(-12 + K) - 2K10,8 = -129,6 + 10,8K - 2K10,8 = -129,6 + 8,8K10,8 0
s⁰ 2K
Vamos simplificar o elemento na linha s¹:

Passo 5

Para que o sistema seja estável, todos os coeficientes da tabela de Routh devem ser positivos. Vamos analisar os termos:
  1. : 1 > 0
  2. : 10,8 > 0
  3. : -129,6 + 8,8K > 0 8,8K > 129,6 K > 129,68,8 K > 14,727 > 0
    Isso implica:
  4. s⁰: 2K > 0
    Como K > 0 para estabilidade.

Passo 6

Com base na análise, o sistema será estável quando . Se for menor que ou igual a 14,727, o sistema se tornará instável.

Resposta

A faixa de que mantém o sistema estável é . Para , o sistema torna-se instável.

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