Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de controle com realimentação unitária, ou seja, a saída do sistema é realimentada diretamente à entrada. A função de transferência do sistema aberto é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a faixa de valores para
que mantém o sistema estável e aquela que o torna instável. Para isso, vamos utilizar o critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar a estabilidade de um sistema sem precisar calcular as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica do sistema. Como temos realimentação unitária, a equação característica é dada por:
Substituindo
:
Simplificando a expressão:
Passo 3
Vamos expandir os termos para obter a equação característica em termos de
:
Primeiro, multiplicamos :
Primeiro, multiplicamos
Agora, multiplicamos por
:
Adicionando a parte com
:
Portanto, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para essa equação característica. Primeiro, montamos a tabela de Routh:
s³ | 1 | -12 + K |
---|---|---|
s² | 10,8 | 2K |
s¹ |
|
0 |
s⁰ | 2K |
Vamos simplificar o elemento na linha s¹:
Passo 5
Para que o sistema seja estável, todos os coeficientes da tabela de Routh devem ser positivos. Vamos analisar os termos:
- s³: 1 > 0
- s²: 10,8 > 0
- s¹:
> 0
Isso implica: - s⁰: 2K > 0
Como K > 0 para estabilidade.
Passo 6
Com base na análise, o sistema será estável quando
. Se
for menor que ou igual a 14,727, o sistema se tornará instável.
Resposta
A faixa de
que mantém o sistema estável é
. Para
, o sistema torna-se instável.
Exercícios relacionados
Obtenha
e
para as seguintes funções de transferência em malha fechada,
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções: