Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Para isso, vamos precisar entender como realizar a transformada inversa de frações racionais e utilizar o método de completar o quadrado no denominador. Vamos calmamente passar por cada etapa para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração
. Para facilitar, vamos completar o quadrado desse polinômio. Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a expressão de uma forma que a transformada inversa de Laplace seja mais fácil de aplicar.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para
:
Agora, a expressão fica
, o que é uma forma conhecida para aplicar transformadas inversas que envolvem exponenciais e funções seno ou cosseno.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a fração original usando essa nova forma do denominador:
Para facilitar a aplicação da transformada inversa, precisamos ajustar o numerador para que ele se pareça com a forma que conhecemos das transformadas inversas envolvendo exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 5
Vamos expressar o numerador
em termos de
:
Assim, a fração fica:
Agora, temos duas frações que correspondem a transformadas inversas conhecidas.
Passo 6
Sabemos que:
Aplicando isso às nossas frações:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace é:
Exercícios relacionados
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
Obtenha
e
para as seguintes funções de transferência em malha fechada,
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções: