Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
3 s+5s^2+4 s+13

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Para isso, vamos precisar entender como realizar a transformada inversa de frações racionais e utilizar o método de completar o quadrado no denominador. Vamos calmamente passar por cada etapa para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração . Para facilitar, vamos completar o quadrado desse polinômio. Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a expressão de uma forma que a transformada inversa de Laplace seja mais fácil de aplicar.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para s^2 + 4s + 13 = (s^2 + 4s + 4) + 9 = (s + 2)^2 + 9 :
Agora, a expressão fica , o que é uma forma conhecida para aplicar transformadas inversas que envolvem exponenciais e funções seno ou cosseno.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a fração original usando essa nova forma do denominador:
3s + 5s^2 + 4s + 13 = 3s + 5(s + 2)^2 + 3^2
Para facilitar a aplicação da transformada inversa, precisamos ajustar o numerador para que ele se pareça com a forma que conhecemos das transformadas inversas envolvendo exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 5

Vamos expressar o numerador 3s + 5 = 3(s + 2) - 1 em termos de 3(s + 2) - 1(s + 2)^2 + 3^2 = 3 cdot s + 2(s + 2)^2 + 3^2 - 1(s + 2)^2 + 3^2 :
Assim, a fração fica:
Agora, temos duas frações que correspondem a transformadas inversas conhecidas.

Passo 6

Sabemos que:
L^-1 s + a(s + a)^2 + b^2 = e^-a t cos(bt)
L^-1 b(s + a)^2 + b^2 = e^-a t sin(bt)
Aplicando isso às nossas frações:
3 cdot s + 2(s + 2)^2 + 3^2 3 e^-2 t cos(3t)
1(s + 2)^2 + 3^2 13 e^-2 t sin(3t)

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace é:
f(t) = 3 e^-2 t cos(3t) - 13 e^-2 t sin(3t)

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