Obtenha zeta, omegan, Ts e Tp para as seguintes funções de transferência em malha fechada,
T(s) & =16s^2+4 s+16 T(s) & =2,22s^2+1,98 s+9 T(s) & =10,18s^2+4 s+16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar quatro coisas importantes para cada função de transferência em malha fechada que você forneceu: o coeficiente de amortecimento ( zeta), a frequência natural ( omegan), o tempo de acomodação ( Ts) e o tempo de pico ( Tp).
Para isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e controle, especificamente para sistemas de segunda ordem. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação característica da função de transferência e aplicar algumas fórmulas padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como está a forma padrão de uma função de transferência de segunda ordem:
T(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Aqui, omegan é a frequência natural e zeta é o coeficiente de amortecimento. Nosso objetivo é reescrever cada função de transferência dada nessa forma para identificar zeta e omegan.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função de transferência:
T(s) = 16s^2 + 4s + 16
Comparando com a forma padrão, temos:
  • Coeficiente de s^2: 1 (mesmo que não apareça na forma padrão, está implícito)
  • Coeficiente de s: 4
  • Termo constante: 16
Sabendo que na forma padrão o coeficiente de s é 2zetaomegan e o termo constante é omegan^2, podemos igualar:
2zetaomegan = 4 omegan^2 = 16

Passo 4

Resolvendo para omegan na equação omegan^2 = 16:
omegan = raiz16 = 4 , rad/s
Agora, substituindo omegan na equação 2zetaomegan = 4:
2zeta times 4 = 4 8zeta = 4 zeta = 48 = 0,5

Passo 5

Com zeta = 0,5 e omegan = 4 , rad/s, podemos encontrar os outros parâmetros usando as fórmulas:
  • Tempo de acomodação ( Ts):
Ts approx 4zetaomegan = 40,5 times 4 = 2 , s
  • Tempo de pico ( Tp):
Tp = piomeganraiz1 - zeta^2 = pi4 times raiz1 - 0,25 = pi4 times raiz0,75 approx 1,44 , s

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para a segunda função de transferência:
T(s) = 2,22s^2 + 1,98s + 9
Comparando com a forma padrão:
  • Coeficiente de s: 1,98
  • Termo constante: 9
Igualando com a forma padrão:
2zetaomegan = 1,98 omegan^2 = 9

Passo 7

Resolvendo para omegan:
omegan = raiz9 = 3 , rad/s
Substituindo omegan na equação 2zetaomegan = 1,98:
2zeta times 3 = 1,98 6zeta = 1,98 zeta = 1,986 approx 0,33

Passo 8

Agora, calculando os tempos:
  • Tempo de acomodação ( Ts):
Ts approx 4zetaomegan = 40,33 times 3 approx 4,04 , s
  • Tempo de pico ( Tp):
Tp = piomeganraiz1 - zeta^2 = pi3 times raiz1 - 0,1089 approx pi3 times raiz0,8911 approx 1,18 , s

Passo 9

Por fim, a terceira função de transferência:
T(s) = 10,18s^2 + 4s + 16
Observamos que o denominador é o mesmo da primeira função, então os coeficientes são:
  • Coeficiente de s: 4
  • Termo constante: 16
Igualando com a forma padrão:
2zetaomegan = 4 omegan^2 = 16

Passo 10

Resolvendo para omegan:
omegan = raiz16 = 4 , rad/s
Substituindo na equação 2zetaomegan = 4:
2zeta times 4 = 4 8zeta = 4 zeta = 48 = 0,5

Passo 11

Calculando os tempos:
  • Tempo de acomodação ( Ts):
Ts approx 4zetaomegan = 40,5 times 4 = 2 , s
  • Tempo de pico ( Tp):
Tp = piomeganraiz1 - zeta^2 = pi4 times raiz1 - 0,25 approx 1,44 , s

Resposta

Para as funções de transferência dadas:
  1. T(s) = 16s^2+4s+16
    • zeta = 0,5
    • omegan = 4 , rad/s
    • Ts = 2 , s
    • Tp approx 1,44 , s
  2. T(s) = 2,22s^2+1,98s+9
    • zeta approx 0,33
    • omegan = 3 , rad/s
    • Ts approx 4,04 , s
    • Tp approx 1,18 , s
  3. T(s) = 10,18s^2+4s+16
    • zeta = 0,5
    • omegan = 4 , rad/s
    • Ts = 2 , s
    • Tp approx 1,44 , s

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