Obtenha e para as seguintes funções de transferência em malha fechada,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar quatro coisas importantes para cada função de transferência em malha fechada que você forneceu: o coeficiente de amortecimento ( ), a frequência natural ( ), o tempo de acomodação ( ) e o tempo de pico ( ).
Para isso, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e controle, especificamente para sistemas de segunda ordem. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação característica da função de transferência e aplicar algumas fórmulas padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como está a forma padrão de uma função de transferência de segunda ordem:
Aqui, é a frequência natural e é o coeficiente de amortecimento. Nosso objetivo é reescrever cada função de transferência dada nessa forma para identificar e .

Passo 3

Vamos começar com a primeira função de transferência:
Comparando com a forma padrão, temos:
  • Coeficiente de : 1 (mesmo que não apareça na forma padrão, está implícito)
  • Coeficiente de : 4
  • Termo constante: 16
Sabendo que na forma padrão o coeficiente de é e o termo constante é , podemos igualar:

Passo 4

Resolvendo para na equação :
Agora, substituindo na equação :

Passo 5

Com e , podemos encontrar os outros parâmetros usando as fórmulas:
  • Tempo de acomodação ( ):
  • Tempo de pico ( ):

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para a segunda função de transferência:
Comparando com a forma padrão:
  • Coeficiente de : 1,98
  • Termo constante: 9
Igualando com a forma padrão:

Passo 7

Resolvendo para :
Substituindo na equação :

Passo 8

Agora, calculando os tempos:
  • Tempo de acomodação ( ):
  • Tempo de pico ( ):

Passo 9

Por fim, a terceira função de transferência:
Observamos que o denominador é o mesmo da primeira função, então os coeficientes são:
  • Coeficiente de : 4
  • Termo constante: 16
Igualando com a forma padrão:

Passo 10

Resolvendo para :
Substituindo na equação :

Passo 11

Calculando os tempos:
  • Tempo de acomodação ( ):
  • Tempo de pico ( ):

Resposta

Para as funções de transferência dadas:

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