Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
s^3(s+1)^2(s^2+2 s+5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
s^3(s+1)^2(s^2+2 s+5)
Aqui, vamos usar conceitos de frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração em partes mais simples usando a técnica de frações parciais. Vamos supor que:
s^3(s+1)^2(s^2+2s+5) = As+1 + B(s+1)^2 + Cs + Ds^2+2s+5

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por s^3 = A(s+1)(s^2+2s+5) + B(s^2+2s+5) + (Cs + D)(s+1)^2 para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo e simplificando os termos:
  1. A(s^3 + 3s^2 + 7s + 5) : B s^2 + 2B s + 5B
  2. (Cs + D)(s^2 + 2s + 1) = Cs^3 + 2Cs^2 + Cs + Ds^2 + 2Ds + D : s^3 = (A + C)s^3 + (3A + 2C + D)s^2 + (7A + 2B + C + 2D)s + (5A + 5B + D)
  3. :
Então, reunindo tudo:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de ambos os lados da equação:
  1. Coeficiente de A + C = 1 : 3A + 2C + D = 0
  2. Coeficiente de 7A + 2B + C + 2D = 0 : 5A + 5B + D = 0
  3. Coeficiente de :
  4. Termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 3A + 2(1 - A) + D = 0 3A + 2 - 2A + D = 0 A + D = -2 Rightarrow D = -2 - A
  2. Substituindo 5A + 5B + (-2 - A) = 0 4A + 5B = 2 Rightarrow 4A + 5B = 2 na segunda equação: 7A + 2B + (1 - A) + 2(-2 - A) = 0 7A + 2B + 1 - A - 4 - 2A = 0 4A + 2B - 3 = 0 Rightarrow 4A + 2B = 3
  3. Substituindo (4A + 5B) - (4A + 2B) = 2 - 3 3B = -1 Rightarrow B = -13 e 4A + 2(-13) = 3 4A - 23 = 3 4A = 113 Rightarrow A = 1112 na quarta equação: C = 1 - 1112 = 112 D = -2 - 1112 = -3512
  4. Substituindo e na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B, C e D, substituímos de volta na decomposição de frações parciais:
s^3(s+1)^2(s^2+2 s+5) = 1112s+1 + -13(s+1)^2 + 112s - 3512s^2+2s+5
Podemos simplificar:
1112cdot1s+1 - 13cdot1(s+1)^2 + 112cdotss^2+2s+5 - 3512cdot1s^2+2s+5

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
  1. 1112e^-t corresponde a: -13te^-t
  2. s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 4 corresponde a: s(s+1)^2+4 = (s+1) -1(s+1)^2+4 = s+1(s+1)^2+4 - 1(s+1)^2+4
  3. 112( e^-tcos(2t) - 12e^-tsin(2t) ) :
    Primeiro, completamos o quadrado no denominador: -3512 cdot 1(s+1)^2+4 = -3512 cdot 12e^-tsin(2t) Então: Portanto:
  4. :
    Similar ao anterior:

Passo 9

Finalmente, juntamos todos os termos:
f(t) = 1112e^-t - 13te^-t + 112e^-tcos(2t) - 3524e^-tsin(2t)

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função dada é:
f(t) = 1112e^-t - 13te^-t + 112e^-tcos(2t) - 3524e^-tsin(2t)

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