Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
Aqui, vamos usar conceitos de frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração em partes mais simples usando a técnica de frações parciais. Vamos supor que:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo e simplificando os termos:
-
: -
: -
:
Então, reunindo tudo:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de ambos os lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Substituindo
na segunda equação: - Substituindo
e na quarta equação: - Substituindo
e na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
Passo 7
Agora que temos os valores de A, B, C e D, substituímos de volta na decomposição de frações parciais:
Podemos simplificar:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
-
corresponde a: -
corresponde a: -
:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:Então: Portanto: -
:
Similar ao anterior:
Passo 9
Finalmente, juntamos todos os termos:
Resposta
A transformada inversa de Laplace da função dada é:
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Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se
e
.