Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
Aqui, vamos usar conceitos de frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração em partes mais simples usando a técnica de frações parciais. Vamos supor que:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo e simplificando os termos:
  1. :
  2. :
  3. :
Então, reunindo tudo:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de ambos os lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Coeficiente de :
  4. Termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo e na quarta equação:
  4. Substituindo e na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B, C e D, substituímos de volta na decomposição de frações parciais:
Podemos simplificar:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
  1. corresponde a:
  2. corresponde a:
  3. :
    Primeiro, completamos o quadrado no denominador: Então: Portanto:
  4. :
    Similar ao anterior:

Passo 9

Finalmente, juntamos todos os termos:

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função dada é:

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Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de que mantém o sistema estável e instável.
Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se e .