Uma matriz quadrada
se diz simétrica se
e antisimétrica se
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica e que o mesmo ocorre para matrizes antisimétricas,
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica e que o mesmo ocorre para matrizes antisimétricas,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica, e que o mesmo vale para matrizes antissimétricas. A matéria que estamos lidando aqui é Matrizes, especificamente propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica e como somar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada
é simétrica se sua transposta
é igual a ela mesma, ou seja,
. Agora, suponha que temos duas matrizes simétricas,
e
. Queremos mostrar que a soma delas,
, também é simétrica.
Passo 3
Vamos calcular a transposta de
:
Como
e
são simétricas, sabemos que
e
. Substituindo na equação:
Isso mostra que
é igual à sua transposta, então
é simétrica.
Passo 4
Agora, vamos para o caso das matrizes antissimétricas. Uma matriz quadrada
é antissimétrica se sua transposta
é igual ao negativo dela mesma, ou seja,
. Suponha que temos duas matrizes antissimétricas,
e
. Queremos mostrar que a soma delas,
, também é antissimétrica.
Passo 5
Vamos calcular a transposta de
:
Como
e
são antissimétricas, sabemos que
e
. Substituindo na equação:
Isso mostra que
é igual ao negativo da sua transposta, então
é antissimétrica.
Resposta
Assim, demonstramos que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica, e a soma de duas matrizes antissimétricas é antissimétrica.