Uma matriz quadrada A se diz simétrica se A^T=A e antisimétrica se A^T=-A
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica e que o mesmo ocorre para matrizes antisimétricas,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica, e que o mesmo vale para matrizes antissimétricas. A matéria que estamos lidando aqui é Matrizes, especificamente propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica e como somar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada é simétrica se sua transposta é igual a ela mesma, ou seja, . Agora, suponha que temos duas matrizes simétricas, e . Queremos mostrar que a soma delas, , também é simétrica.

Passo 3

Vamos calcular a transposta de (A + B)^T = A^T + B^T :
(A + B)^T = A + B
Como e são simétricas, sabemos que e . Substituindo na equação:
Isso mostra que é igual à sua transposta, então é simétrica.

Passo 4

Agora, vamos para o caso das matrizes antissimétricas. Uma matriz quadrada é antissimétrica se sua transposta é igual ao negativo dela mesma, ou seja, . Suponha que temos duas matrizes antissimétricas, e . Queremos mostrar que a soma delas, , também é antissimétrica.

Passo 5

Vamos calcular a transposta de (A + B)^T = A^T + B^T :
(A + B)^T = -A - B = -(A + B)
Como e são antissimétricas, sabemos que e . Substituindo na equação:
Isso mostra que é igual ao negativo da sua transposta, então é antissimétrica.

Resposta

Assim, demonstramos que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica, e a soma de duas matrizes antissimétricas é antissimétrica.

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