Seja
uma função. Defina
por
para
. Prove que:
é sobrejetora se, e somente se,
é sobrejetora.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma função
e definimos uma nova função
que mapeia subconjuntos de
para subconjuntos de
através de
. O objetivo é provar que
é sobrejetora (ou seja, cobre todo o conjunto
) se, e somente se,
também for sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e como
está relacionada com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função
é sobrejetora se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Em outras palavras, nenhum elemento de
fica “sem imagem” em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Ela mapeia subconjuntos de
para subconjuntos de
da seguinte forma:
Isso significa que, dado um subconjunto
de
,
é o conjunto de todas as imagens de elementos de
através de
.
Passo 4
Vamos primeiro provar que se
é sobrejetora, então
também é sobrejetora.
- Suponha que
é sobrejetora. - Queremos mostrar que, para qualquer subconjunto
de , existe um subconjunto de tal que . - Como
é sobrejetora, para cada em , existe pelo menos um em com . - Basta escolher
como o conjunto de todos esses . Assim, vai exatamente cobrir todo .
Portanto,
é sobrejetora se
for sobrejetora.
Passo 5
Agora, vamos provar a direção inversa: se
é sobrejetora, então
também é sobrejetora.
- Suponha que
é sobrejetora. - Queremos mostrar que, para qualquer
em , existe um em tal que . - Considere o subconjunto
de . - Como
é sobrejetora, existe um subconjunto de tal que . - Isso significa que existe pelo menos um
em com . - Portanto, para todo
em , existe um em com , mostrando que é sobrejetora.
Resposta
Assim,
é sobrejetora se, e somente se,
é sobrejetora.