Dado o subconjunto
de
, faça o que se pede:
a) Mostre que
é um subespaço de
;
a) Mostre que
Passo 1
Beleza, temos o conjunto
. A gente precisa mostrar que esse conjunto é um subespaço de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se
satisfaz as três propriedades fundamentais de um subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Como
e
estão em
, temos:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que
também satisfaz a equação de
, então
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor
em
e um escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Como
está em
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim,
também satisfaz a equação de
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.