Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-3 z=0 de R^4, faça o que se pede:
a) Mostre que W é um subespaço de R^4;

Passo 1

Beleza, temos o conjunto . A gente precisa mostrar que esse conjunto é um subespaço de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz as três propriedades fundamentais de um subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 - 0 - 3 times 0 = 0 que é verdadeiro . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
é
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se x1 - y1 - 3z1 = 0 e x2 - y2 - 3z2 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer (x1 + x2) - (y1 + y2) - 3(z1 + z2) = 0 e em , a soma também deve estar em .
Como e estão em , temos:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que também satisfaz a equação de , então é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se x - y - 3z = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor k(x - y - 3z) = 0 Rightarrow kx - ky - 3kz = 0 em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Como está em , temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim, também satisfaz a equação de , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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