Sejam os vetores u=(2,1,3) e v=(4,2,7) em R^3. Faça o que se pede:
a) Escreva w=(8,4,13) como combinação linear de u e v :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e dentro do espaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinação linear de vetores. Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever w = a cdot u + b cdot v como uma combinação linear de (8, 4, 13) = a cdot (2, 1, 3) + b cdot (4, 2, 7) e . Queremos encontrar números reais e tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Isso significa que cada componente de deve ser igual à combinação das componentes correspondentes de e .

Passo 3

Vamos então escrever isso em termos de equações para cada posição do vetor:
2a + 4b = 8 1a + 2b = 4 3a + 7b = 13
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Primeiro, olhamos para as duas primeiras equações:
2a + 4b = 8 (1) a + 2b = 4 (2)
A segunda equação já parece simples. Podemos resolver a equação (2) para a = 4 - 2b :

Passo 5

Agora, substituímos 2(4 - 2b) + 4b = 8 na equação (1) com a expressão que encontramos:
8 - 4b + 4b = 8
Distribuindo o 2:
8 = 8
Simplificando:
Isso confirma que as duas primeiras equações são consistentes entre si.

Passo 6

Agora, vamos verificar a terceira equação com os valores que encontramos:
3a + 7b = 13
Substituindo 3(4 - 2b) + 7b = 13 :
12 - 6b + 7b = 13
Distribuindo o 3:
12 + b = 13
Simplificando:
b = 1
Então:

Passo 7

Agora que encontramos a = 4 - 2(1) = 2 , voltamos para a expressão de :

Resposta

Portanto, o vetor w = 2u + 1v pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma:

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