Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-3 z=0 de R^4, faça o que se pede:
b) Encontre os geradores de W e a partir destes determine uma base para W.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um conjunto e precisamos encontrar os geradores de e, a partir deles, determinar uma base para .
Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que define : . Isso significa que, para qualquer vetor em , os componentes e devem satisfazer essa equação.

Passo 3

Vamos resolver a equação x = y + 3z para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para :

Passo 4

Agora, podemos expressar qualquer vetor em (x, y, z, t) = (y + 3z, y, z, t) usando os parâmetros livres e . Assim, temos:

Passo 5

Podemos reescrever o vetor dessa forma para identificar os geradores:
(x, y, z, t) = y cdot (1, 1, 0, 0) + z cdot (3, 0, 1, 0) + t cdot (0, 0, 0, 1)
Aqui, , e são os geradores de .

Passo 6

Para encontrar uma base de a(1, 1, 0, 0) + b(3, 0, 1, 0) + c(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0) , precisamos que os geradores sejam linearmente independentes. Vamos verificar isso.
Suponha que uma combinação linear dos geradores seja igual ao vetor zero:
a + 3b = 0 a = 0 b = 0 c = 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , logo . E da quarta equação, .
Como a única solução é a trivial ( ), os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Então, os geradores de são e uma base para é exatamente esse conjunto, já que os vetores são linearmente independentes.

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