Dado o subconjunto
de
, faça o que se pede:
b) Encontre os geradores de
e a partir destes determine uma base para
.
b) Encontre os geradores de
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um conjunto
e precisamos encontrar os geradores de
e, a partir deles, determinar uma base para
.
Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que define
:
. Isso significa que, para qualquer vetor
em
, os componentes
e
devem satisfazer essa equação.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para
:
Passo 4
Agora, podemos expressar qualquer vetor em
usando os parâmetros livres
e
. Assim, temos:
Passo 5
Podemos reescrever o vetor dessa forma para identificar os geradores:
Aqui,
,
e
são os geradores de
.
Passo 6
Para encontrar uma base de
, precisamos que os geradores sejam linearmente independentes. Vamos verificar isso.
Suponha que uma combinação linear dos geradores seja igual ao vetor zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, logo
. E da quarta equação,
.
Como a única solução é a trivial (
), os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Então, os geradores de
são
e uma base para
é exatamente esse conjunto, já que os vetores são linearmente independentes.