Determinar as equações paramétricas da reta que passa por
a) A(4,-1,3) e é paralela ao vetor w=(3,2,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto A(4,-1,3) e que é paralela ao vetor w = (3,2,0). Para isso, vamos usar o conceito de equações paramétricas de uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas de uma reta. Num espaço 3D, uma reta pode ser descrita por três equações, cada uma representando uma coordenada ( x, y, z) em função de um parâmetro, geralmente chamado de t. A forma geral das equações paramétricas é:
x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t z = z0 + c cdot t
Aqui, (x0, y0, z0) é um ponto por onde a reta passa (no nosso caso, o ponto A), e (a, b, c) é o vetor diretor da reta (no nosso caso, o vetor w). O parâmetro t pode assumir qualquer valor real, e varia ao longo da reta.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do ponto e do vetor diretor. O ponto A tem coordenadas (4, -1, 3), então:
x0 = 4 y0 = -1 z0 = 3
O vetor diretor é w = (3, 2, 0), então:
a = 3 b = 2 c = 0

Passo 4

Agora, basta substituir esses valores na forma geral das equações paramétricas que a gente viu no Passo 2:
x = 4 + 3t y = -1 + 2t z = 3 + 0t

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 4 + 3t y = -1 + 2t z = 3 com t in R

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