Dados os subespaços
e
. Determine
e seu conjunto de geradores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços de
:
O objetivo é encontrar a interseção desses dois subespaços, ou seja,
, e descobrir um conjunto que gera esse espaço.
Vamos precisar entender o que cada subespaço representa e como encontrar os vetores que estão em ambos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada condição.
Para
, temos
. Isso quer dizer que
. Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
e
podem ser quaisquer números reais.
Para
, a condição é
. Então, qualquer vetor em
é da forma
, onde
e
são quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, para encontrar
, procuramos os vetores que satisfazem ambas as condições:
e
.
Sabemos que
a partir de
. Substituindo
na equação de
, temos:
Passo 4
Com
e
, os vetores em
têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real.
Isso significa que
é o conjunto de todos os vetores que têm
e
iguais a zero, e
livre para variar.
Passo 5
Para achar um conjunto de geradores para
, precisamos encontrar vetores que possam gerar todos os vetores dessa interseção.
Já vimos que qualquer vetor em
é da forma
. Isso pode ser escrito como
, onde
é um número real.
Portanto, o conjunto
gera
.
Resposta
A interseção
é o conjunto
e é gerado pelo vetor
.
Exercícios relacionados
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(a) |\vec{u} \times \vec{v}|=|\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle|.
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Determine os valores reais de
, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Dado o subconjunto
W=(x, y, z, t) in R^4 ; 3 x-y-2 z=0 de
R^4 , faça o que se pede:
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W .
b) Encontre os geradores de