Dados os subespaços U=(x, y, z) in R^3 ; x+y=0 e V=(x, y, z) in R^3 ; x=0. Determine U cap V e seu conjunto de geradores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços de :
O objetivo é encontrar a interseção desses dois subespaços, ou seja, , e descobrir um conjunto que gera esse espaço.
Vamos precisar entender o que cada subespaço representa e como encontrar os vetores que estão em ambos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada condição.
Para , temos . Isso quer dizer que . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e podem ser quaisquer números reais.
Para , a condição é . Então, qualquer vetor em é da forma , onde e são quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, para encontrar , procuramos os vetores que satisfazem ambas as condições: e .
Sabemos que a partir de . Substituindo na equação de , temos:

Passo 4

Com e , os vetores em têm a forma , onde pode ser qualquer número real.
Isso significa que é o conjunto de todos os vetores que têm e iguais a zero, e livre para variar.

Passo 5

Para achar um conjunto de geradores para , precisamos encontrar vetores que possam gerar todos os vetores dessa interseção.
Já vimos que qualquer vetor em é da forma . Isso pode ser escrito como , onde é um número real.
Portanto, o conjunto gera .

Resposta

A interseção é o conjunto e é gerado pelo vetor .

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