Determine os valores reais de k, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
ccc -2 x & -3 y-k z & =-3 x+y-z & =1 x & +k y & +3 z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear para encontrar os valores de que fazem ele ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas de equações. Precisamos montar a matriz do sistema e analisar quando ela é singular ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
-2x - 3y - kz = -3 x + y - z = 1 x + ky + 3z = 2

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes:
A = -2 & -3 & -k 1 & 1 & -1 1 & k & 3 , b = -3 1 2

Passo 4

Para determinar o tipo de solução do sistema, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = -2 1 & -1 k & 3 - (-3) 1 & -1 1 & 3 - k 1 & 1 1 & k . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar as condições para ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
O determinante de 1 & -1 k & 3 = (1)(3) - (-1)(k) = 3 + k é dado por:
1 & -1 1 & 3 = (1)(3) - (-1)(1) = 3 + 1 = 4
Calculando cada menor:
1 & 1 1 & k = (1)(k) - (1)(1) = k - 1
det(A) = -2(3 + k) + 3(4) - k(k - 1) = -6 - 2k + 12 - k^2 + k = (-2k + k) + (-6 + 12) - k^2 = -k + 6 - k^2 = -k^2 - k + 6
Substituindo de volta:

Passo 5

Vamos encontrar os valores de -k^2 - k + 6 = 0 implies k^2 + k - 6 = 0 que fazem k = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52 , mas as equações serem consistentes, ou e as equações serem inconsistentes.
Primeiro, vamos resolver :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .

Passo 6

i) Uma única solução:
Quando -2 & -3 & -2 & | & -3 1 & 1 & -1 & | & 1 1 & 2 & 3 & | & 2 , ou seja, -2 & -3 & 3 & | & -3 1 & 1 & -1 & | & 1 1 & -3 & 3 & | & 2 e .
ii) Infinitas soluções:
Quando e o sistema é consistente. Vamos verificar para e .
Para :
Substituindo na matriz aumentada:
Aplicando operações de linha, percebemos que as três equações são consistentes, resultando em infinitas soluções.
Para :
Substituindo na matriz aumentada:
Após aplicar operações de linha, vemos que as equações levam a uma contradição, ou seja, não há solução.

Passo 7

iii) Nenhuma solução:
Quando e o sistema é inconsistente. No caso, isso ocorre quando .

Resposta

  • Uma única solução: Para todos os valores de exceto e .
  • Infinitas soluções: Quando .
  • Nenhuma solução: Quando .

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