Determine os valores reais de , tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear para encontrar os valores de que fazem ele ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas de equações. Precisamos montar a matriz do sistema e analisar quando ela é singular ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
-2x - 3y - kz = -3 x + y - z = 1 x + ky + 3z = 2
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes:
A = -2 & -3 & -k 1 & 1 & -1 1 & k & 3 , b = -3 1 2
Passo 4
Para determinar o tipo de solução do sistema, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = -2 1 & -1 k & 3 - (-3) 1 & -1 1 & 3 - k 1 & 1 1 & k . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar as condições para ter infinitas soluções ou nenhuma solução.
O determinante de 1 & -1 k & 3 = (1)(3) - (-1)(k) = 3 + k é dado por:
Vamos encontrar os valores de -k^2 - k + 6 = 0 implies k^2 + k - 6 = 0 que fazem k = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52 , mas as equações serem consistentes, ou e as equações serem inconsistentes.