Vamos resolver a letra (a). Primeiro, o enunciado pede para encontrarmos o número que faz com que as sequências de vetores sejam linearmente dependentes (LD). O conteúdo envolvido aqui é o conceito de dependência linear de vetores. Para vetores serem LD, existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo. Vamos precisar das funções dos vetores e resolver uma equação para encontrar .
Passo 2
Dado:
Queremos que existam escalares e , não ambos zero, tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Para que haja uma solução não trivial, o determinante da matriz formada por e deve ser zero:
Mas como temos apenas duas variáveis, podemos usar uma das equações para encontrar alpha x^2 + beta x = 0 (4) . Observando as equações (1) e (2):
alpha x^2 + beta x - (alpha + beta x) = 0
alpha x^2 - alpha = 0
Multiplicando a equação (1) por alpha (x^2 - 1) = 0 :
Subtraindo a equação (2):
Passo 4
Para que haja uma solução não trivial, x^2 - 1 = 0 . Então:
x^2 = 1
x = pm 1
Passo 5
Agora, vamos resolver a letra (b). O objetivo é encontrar o número que faz com que os vetores sejam linearmente dependentes. Usaremos o conceito de combinação linear e determinantes para isso.
Passo 6
Dado:
u = (1 - x^2, 1 - x, 0)
v = (x, x, x)
Para que os vetores sejam LD, precisamos que exista uma combinação não trivial alpha (1 - x^2) + beta x = 0 (1) . Isso leva ao sistema:
alpha (1 - x) + beta x = 0 (2)
alpha cdot 0 + beta x = 0 (3)
Passo 7
Da equação (3):
beta x = 0
Para uma solução não trivial, x = 0 , então:
alpha (1 - 0) + beta cdot 0 = alpha = 0
Agora, substituindo alpha (1 - 0) + beta cdot 0 = alpha = 0 nas equações (1) e (2):
Mas isso nos dá , o que contraria a condição de solução não trivial. Portanto, precisamos verificar outra possibilidade.
Passo 8
Se não funciona, então para ter solução não trivial, ambas e devem ser zero, o que não satisfaz a dependência linear. Assim, concluímos que não há valor de que torne os vetores LD, exceto se considerarmos , que leva a uma solução trivial.
Como a raiz é negativa, não há solução real para .
Passo 13
Finalmente, vamos resolver a letra (d). Precisamos encontrar o valor de que faz com que os três vetores sejam linearmente dependentes. Usaremos novamente o determinante da matriz formada pelos vetores.
Passo 14
Dado:
u = (x, 1, x + 1)
v = (0, 1, x)
w = (0, x, 2x)
Para que os vetores sejam LD, o determinante deve ser zero:
x & 0 & 0 1 & 1 & x x + 1 & x & 2x = 0
Passo 15
Calculando o determinante:
x cdot 1 & x x & 2x - 0 cdot 1 & x x+1 & 2x + 0 cdot 1 & 1 x+1 & x = 0