Encontre o número times para que cada sequência de vetores abaixo sejam LD.
(a) u=(x, 1, x) e v=(1, x, 1).
(b) u=(1-x^2, 1-x, 0) e v=(x, x, x).
© u=(x, 1, x+1), v=(1,2, x) e w=(1,1,1).
(d) u=(x, 1, x+1), v=(0,1, x) e w=(0, x, 2 x).

Passo 1

Vamos resolver a letra (a). Primeiro, o enunciado pede para encontrarmos o número que faz com que as sequências de vetores sejam linearmente dependentes (LD). O conteúdo envolvido aqui é o conceito de dependência linear de vetores. Para vetores serem LD, existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo. Vamos precisar das funções dos vetores e resolver uma equação para encontrar .

Passo 2

Dado:
u = (x, 1, x)
v = (1, x, 1)
Queremos que existam escalares alpha u + beta v = 0 e alpha x + beta cdot 1 = 0 (1) , não ambos zero, tais que:
alpha cdot 1 + beta x = 0 (2)
Isso nos dá o sistema de equações:
alpha x + beta cdot 1 = 0 (3)

Passo 3

Para que haja uma solução não trivial, o determinante da matriz formada por x & 1 1 & x x & 1 = 0 e alpha x + beta = 0 (1) deve ser zero:
alpha + beta x = 0 (2)
Mas como temos apenas duas variáveis, podemos usar uma das equações para encontrar alpha x^2 + beta x = 0 (4) . Observando as equações (1) e (2):
alpha x^2 + beta x - (alpha + beta x) = 0
alpha x^2 - alpha = 0
Multiplicando a equação (1) por alpha (x^2 - 1) = 0 :
Subtraindo a equação (2):

Passo 4

Para que haja uma solução não trivial, x^2 - 1 = 0 . Então:
x^2 = 1
x = pm 1

Passo 5

Agora, vamos resolver a letra (b). O objetivo é encontrar o número que faz com que os vetores sejam linearmente dependentes. Usaremos o conceito de combinação linear e determinantes para isso.

Passo 6

Dado:
u = (1 - x^2, 1 - x, 0)
v = (x, x, x)
Para que os vetores sejam LD, precisamos que exista uma combinação não trivial alpha (1 - x^2) + beta x = 0 (1) . Isso leva ao sistema:
alpha (1 - x) + beta x = 0 (2)
alpha cdot 0 + beta x = 0 (3)

Passo 7

Da equação (3):
beta x = 0
Para uma solução não trivial, x = 0 , então:
alpha (1 - 0) + beta cdot 0 = alpha = 0
Agora, substituindo alpha (1 - 0) + beta cdot 0 = alpha = 0 nas equações (1) e (2):
Mas isso nos dá , o que contraria a condição de solução não trivial. Portanto, precisamos verificar outra possibilidade.

Passo 8

Se não funciona, então para ter solução não trivial, ambas e devem ser zero, o que não satisfaz a dependência linear. Assim, concluímos que não há valor de que torne os vetores LD, exceto se considerarmos , que leva a uma solução trivial.

Passo 9

Vamos para a letra ©. Precisamos encontrar o valor de que faz com que os três vetores sejam linearmente dependentes. Utilizaremos o conceito de determinante para verificar a dependência linear.

Passo 10

Dado:
u = (x, 1, x + 1)
v = (1, 2, x)
w = (1, 1, 1)
Para que os vetores sejam LD, o determinante da matriz formada por eles deve ser zero:
x & 1 & 1 1 & 2 & 1 x+1 & x & 1 = 0

Passo 11

Calculando o determinante:
x cdot 2 & 1 x & 1 - 1 cdot 1 & 1 x+1 & 1 + 1 cdot 1 & 2 x+1 & x = 0
x (2 cdot 1 - 1 cdot x) - (1 cdot 1 - 1 cdot (x+1)) + (1 cdot x - 2 cdot (x+1)) = 0
x (2 - x) - (1 - x - 1) + (x - 2x - 2) = 0
x (2 - x) - (-x) + (-x - 2) = 0
2x - x^2 + x - x - 2 = 0
2x - x^2 - 2 = 0
-x^2 + 2x - 2 = 0
Multiplicando por -1:
x^2 - 2x + 2 = 0

Passo 12

Resolvendo a equação quadrática:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1
x = 2 pm raiz4 - 82
x = 2 pm raiz-42
Como a raiz é negativa, não há solução real para .

Passo 13

Finalmente, vamos resolver a letra (d). Precisamos encontrar o valor de que faz com que os três vetores sejam linearmente dependentes. Usaremos novamente o determinante da matriz formada pelos vetores.

Passo 14

Dado:
u = (x, 1, x + 1)
v = (0, 1, x)
w = (0, x, 2x)
Para que os vetores sejam LD, o determinante deve ser zero:
x & 0 & 0 1 & 1 & x x + 1 & x & 2x = 0

Passo 15

Calculando o determinante:
x cdot 1 & x x & 2x - 0 cdot 1 & x x+1 & 2x + 0 cdot 1 & 1 x+1 & x = 0
x (1 cdot 2x - x cdot x) = 0
x (2x - x^2) = 0
x cdot x (2 - x) = 0
x^2 (2 - x) = 0

Passo 16

Resolvendo a equação:
x^2 = 0 ou 2 - x = 0
x = 0 ou x = 2

Resposta

Os valores de que tornam os vetores LD são e .

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