Dado que tem a transformada de Fourier , expresse as transformadas de Fourier dos sinais listados a seguir em termos de . Se precisar, use as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Temos uma função cuja transformada de Fourier é . Precisamos encontrar a transformada de Fourier de em termos de . Para isso, vamos usar propriedades da transformada de Fourier que nos ajudam a lidar com derivadas e transformações de tempo.

Passo 2

Vamos começar observando a parte . Isso representa uma reflexão no tempo da função . A propriedade de reflexão nos diz que se tivermos , a transformada de Fourier será . No nosso caso, como temos , vamos precisar ajustar essa propriedade para considerar o deslocamento no tempo.

Passo 3

Agora, consideramos a derivada de segunda ordem . A propriedade da derivada na transformada de Fourier afirma que a transformada de Fourier de é . No nosso caso, , então a transformada será .

Passo 4

Juntando as duas partes, temos a operação de reflexão no tempo seguida da derivada de segunda ordem. Primeiro, refletimos para obter , cuja transformada de Fourier é . Em seguida, aplicamos a derivada de segunda ordem, multiplicando por .

Passo 5

Portanto, combinando as propriedades, a transformada de Fourier de é:

Resposta

A transformada de Fourier do sinal é:

Exercícios relacionados

Dado que tem a transformada de Fourier , expresse as transformadas de Fourier dos sinais listados a seguir em termos de . Se precisar, use as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela
Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
Dado que tem a transformada de Fourier , expresse as transformadas de Fourier dos sinais listados a seguir em termos de . Se precisar, use as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela
Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções, demonstrando os cálculos para obtê-las.
;