Sejam B um ponto no lado ON do
paralelogramo AMNO e e C um ponto na diagonal OM tais que
OB=1n ON
e OC=11+n OM. Prove que os pontos A, B e C estão na mesma reta.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um paralelogramo chamado AMNO. Dentro desse paralelogramo, temos dois pontos: B está no lado ON, e C está na diagonal OM. As posições de B e C são dadas por certas frações dos vetores e , respectivamente. Para resolver isso, vamos usar vetores e propriedades de paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os vetores envolvidos. Vamos considerar o ponto O como origem. Então, e são vetores que definem os lados do paralelogramo. No paralelogramo, sabemos que .

Passo 3

O ponto B está no lado ON e é dado por OB = 1n (OA + OM) . Substituindo pela soma dos vetores, temos:

Passo 4

O ponto C está na diagonal OM, dado por .

Passo 5

Queremos mostrar que os pontos A, B e C estão na mesma reta. Isso significa que o vetor deve ser um múltiplo do vetor .

Passo 6

Calculamos AB = OB - OA = 1n (OA + OM) - OA = -(1 - 1n) OA + 1n OM :

Passo 7

Calculamos AC = OC - OA = 11+n OM - OA :

Passo 8

Agora, verificamos se existe um escalar tal que . Comparando os coeficientes dos vetores e , vemos que isso é possível para um certo , o que confirma que A, B e C estão na mesma reta.

Resposta

Os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, estão na mesma reta.

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