Sejam B um ponto no lado ON do
paralelogramo AMNO e e C um ponto na diagonal OM tais que
e OC=11+n OM. Prove que os pontos A, B e C estão na mesma reta.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um paralelogramo chamado AMNO. Dentro desse paralelogramo, temos dois pontos: B está no lado ON, e C está na diagonal OM. As posições de B e C são dadas por certas frações dos vetores e , respectivamente. Para resolver isso, vamos usar vetores e propriedades de paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os vetores envolvidos. Vamos considerar o ponto O como origem. Então, e são vetores que definem os lados do paralelogramo. No paralelogramo, sabemos que .
Passo 3
O ponto B está no lado ON e é dado por OB = 1n (OA + OM) . Substituindo pela soma dos vetores, temos:
Passo 4
O ponto C está na diagonal OM, dado por .
Passo 5
Queremos mostrar que os pontos A, B e C estão na mesma reta. Isso significa que o vetor deve ser um múltiplo do vetor .
Passo 6
Calculamos AB = OB - OA = 1n (OA + OM) - OA = -(1 - 1n) OA + 1n OM :
Passo 7
Calculamos AC = OC - OA = 11+n OM - OA :
Passo 8
Agora, verificamos se existe um escalar tal que . Comparando os coeficientes dos vetores e , vemos que isso é possível para um certo , o que confirma que A, B e C estão na mesma reta.
Resposta
Os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, estão na mesma reta.