Seja um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto é igual a sem um vetor, então é LI? é LD? ou pode ser LD? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver uma questão de Álgebra Linear que trata de conjuntos de vetores e sua independência linear. Precisamos entender se, ao remover um vetor de um conjunto de vetores linearmente independente, o novo conjunto resultante permanece independente ou se pode se tornar dependente. Para isso, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Agora, consideremos o conjunto que é linearmente independente e formamos o conjunto removendo um vetor de . Vamos analisar se mantém a independência linear.

Passo 4

Se é LI, isso significa que a remoção de qualquer vetor de não introduz dependência linear, pois não havia dependência antes. Sem um vetor para ser representado como combinação dos outros, os demais vetores permanecem independentes.

Passo 5

Portanto, o conjunto , que é sem um vetor, também será linearmente independente. Ele não se tornará dependente porque originalmente não havia relações de dependência entre os vetores de .

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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Seja e Determine e tais que não esteja em . Isso é suficiente para que com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar não seja um subespaço vetorial do . Explique.
Responda e justifique. Além disso, interprete geometricamente: é LI?
Dados os vetores , calcular:
Dado um triângulo , prove que as coordenadas do seu baricentro são dadas por .