Seja
um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Se o conjunto
é igual a
sem um vetor, então
é LI?
é LD? ou
pode ser LD? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver uma questão de Álgebra Linear que trata de conjuntos de vetores e sua independência linear. Precisamos entender se, ao remover um vetor de um conjunto de vetores linearmente independente, o novo conjunto resultante permanece independente ou se pode se tornar dependente. Para isso, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero.
Passo 3
Agora, consideremos o conjunto
que é linearmente independente e formamos o conjunto
removendo um vetor de
. Vamos analisar se
mantém a independência linear.
Passo 4
Se
é LI, isso significa que a remoção de qualquer vetor de
não introduz dependência linear, pois não havia dependência antes. Sem um vetor para ser representado como combinação dos outros, os demais vetores permanecem independentes.
Passo 5
Portanto, o conjunto
, que é
sem um vetor, também será linearmente independente. Ele não se tornará dependente porque originalmente não havia relações de dependência entre os vetores de
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.
Exercícios relacionados
Seja
e
Determine
e
tais que
não esteja em
. Isso é suficiente para que
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar não seja um subespaço vetorial do
. Explique.
Responda e justifique. Além disso, interprete geometricamente:
é LI?
Dados os vetores
, calcular:
Dado um triângulo
, prove que as coordenadas do seu baricentro são dadas por
.