Dado o triângulo cujos vértices são A(l,-1), B(6,0) e C(3,3), determine o pé da altura relativa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um triângulo com vértices em , e . A gente precisa encontrar o “pé da altura relativa”, que basicamente é o ponto onde a altura do triângulo toca a base. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender de onde a altura será traçada. Geralmente, o “pé da altura relativa” refere-se à altura a partir de um dos vértices até o lado oposto. Vamos assumir que queremos encontrar a altura a partir do vértice até o lado .

Passo 3

Para encontrar o pé da altura, precisamos seguir dois passos principais:
  1. Encontrar a equação da reta .
  2. Encontrar a equação da reta perpendicular a que passa pelo ponto .

Passo 4

Vamos começar encontrando a equação da reta mBC = yC - yBxC - xB = 3 - 03 - 6 = 3-3 = -1 .
Primeiro, calculamos o coeficiente angular 0 = (-1)(6) + b implies b = 6 :
y = -x + 6
Agora, usando a forma da equação da reta , e usando o ponto :
Então, a equação da reta é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta perpendicular a mperp = -1mBC = -1-1 = 1 que passa por y = mperp x + b . O coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do inverso de -1 = (1)(l) + b implies b = -1 - l :
y = x - 1 - l
Então, a equação da reta perpendicular é:
Substituindo o ponto :
Portanto, a equação da reta perpendicular é:

Passo 6

Para encontrar o ponto de interseção dessas duas retas ( -x + 6 = x - 1 - l e a perpendicular), igualamos as equações:
-x - x = -1 - l - 6 implies -2x = -7 - l implies x = 7 + l2
Resolvendo para y = -(7 + l2) + 6 = -7 + l2 + 122 = 5 - l2 :
Agora, substituímos esse valor de em uma das equações para encontrar . Usando a equação de :

Resposta

O pé da altura relativa ao vértice no triângulo é o ponto .

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