Dado o triângulo (A)(B)(C) situado em um plano (alpha), encontre a verdadeira grandeza do triângulo no plano horizontal (pi), utilizando um plano de topo como auxiliar. Considere:
(A) [1 ; 0 ; 1,5]
(B) [0 ; 2 ; 1] ; e
© [2 ; 3,5 ; 2].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo triang<= ABC situado em um plano alpha e precisamos encontrar as verdadeiras grandezas (comprimentos dos lados) desse triângulo projetado no plano horizontal pi. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e projeções, utilizando o plano de topo como auxiliar.

Passo 2

Vamos começar identificando as coordenadas dos pontos dados no espaço tridimensional. As coordenadas são:
  • Ponto A: [1 ; 0 ; 1,5]
  • Ponto B: [0 ; 2 ; 1]
  • Ponto C: [2 ; 3,5 ; 2]
Aqui, cada ponto é representado pelas coordenadas (x, y, z) no plano alpha.

Passo 3

Para encontrar as verdadeiras grandezas do triângulo no plano horizontal pi, precisamos projetar os pontos A, B e C sobre o plano pi. A projeção horizontal ignora a coordenada vertical (z), mantendo apenas as coordenadas x e y.

Passo 4

Vamos projetar cada ponto no plano pi:
  • Projeção de A: (1, 0)
  • Projeção de B: (0, 2)
  • Projeção de C: (2, 3,5)
A projeção de C deve ser (2, 3.5) no plano horizontal.

Passo 5

Agora, temos as coordenadas projetadas dos pontos no plano horizontal:
  • A’: (1, 0)
  • B’: (0, 2)
  • C’: (2, 3.5)
Com essas coordenadas, podemos calcular os comprimentos dos lados do triângulo projetado usando a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 6

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) no plano é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos calcular os comprimentos dos lados A’B’, B’C’ e A’C’.

Passo 7

Calculando A’B’:
A'B' = raiz(0 - 1)^2 + (2 - 0)^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,24

Passo 8

Calculando B’C’:
B'C' = raiz(2 - 0)^2 + (3,5 - 2)^2 = raiz4 + 2,25 = raiz6,25 = 2,5

Passo 9

Calculando A’C’:
A'C' = raiz(2 - 1)^2 + (3,5 - 0)^2 = raiz1 + 12,25 = raiz13,25 approx 3,64

Resposta

As verdadeiras grandezas do triângulo no plano horizontal pi são aproximadamente:
  • A’B’ = 2,24 unidades
  • B’C’ = 2,5 unidades
  • A’C’ = 3,64 unidades

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