A reta (A)(B) pertence ao plano (alpha), paralelo à linha de terra. O plano (alpha) intercepta o plano ( sigma ), que também é paralelo à linha de terra. Apresente a reta interseção (i) entre os dois planos. Considere:
(A) [0 ;-1 ; 3]
(B) [4 ; 2 ;-1];
sigma pi tem afastamento igual a 3 ; e
sigma pi

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos uma reta que pertence ao plano e é paralela à linha de terra. O plano intercepta outro plano , que também é paralelo à linha de terra. Precisamos encontrar a reta de interseção entre os dois planos.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre geometria analítica, especialmente sobre equações de planos e retas no espaço. Vamos identificar os pontos dados, encontrar as equações dos planos e determinar a reta de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos e que estão na reta :
Esses pontos nos ajudarão a determinar a direção da reta .

Passo 3

Vamos encontrar o vetor diretor da reta AB = B - A = [4 - 0, 2 - (-1), -1 - 3] = [4, 3, -4] . O vetor diretor é obtido subtraindo as coordenadas de de :
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Como a reta Ax + By + Cz + D = 0 está no plano e é paralela à linha de terra, podemos assumir que a linha de terra está no plano . Portanto, o plano também é paralelo ao plano , o que significa que suas normais serão paralelas.
A equação geral de um plano é:
Como é paralelo ao plano , a direção normal de é a mesma do plano , ou seja, .

Passo 5

Sabemos que a reta 0x + 0y + 1z + D = 0 implies z + D = 0 está no plano 3 + D = 0 implies D = -3 , então os pontos z - 3 = 0 e satisfazem a equação do plano . Vamos usar o ponto para encontrar a equação do plano.
Como , a equação do plano é:
Substituindo as coordenadas de na equação:
Portanto, a equação do plano é:

Passo 6

Agora, vamos considerar o plano 0x + 0y + 1z + D = 0 implies z + D = 0 , que também é paralelo à linha de terra e está a uma distância de 3 unidades do plano Distância = |Dsigma - Dalpha||n| .
Como ambos os planos são paralelos, as normais são as mesmas, ou seja, 3 = |Dsigma - (-3)| implies 3 = |Dsigma + 3| .
A equação geral do plano z = 0 ou z = -6 será semelhante à de :
A distância entre os planos paralelos e é dada por:
â
Sabemos que a distância é 3 e :
Isso nos dá duas possibilidades:
Portanto, as equações do plano são:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a reta de interseção entre os planos e .
No entanto, como ambos os planos são paralelos (as duas equações são e ou ), eles não se intersectam se estiverem em diferentes posições.
Portanto, não existe uma reta de interseção entre e quando é paralelo a e está a uma distância de 3 unidades.

Resposta

Não existe uma reta de interseção entre os planos e , pois eles são planos paralelos e não se intersectam.

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