Dado um triângulo , seja um ponto do segmento . Suponha que o vetor é igual a lambda vezes o vetor M B. Exprima o vetor C M em função dos vetores A C e B C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá um triângulo triang<= ABC e um ponto M no lado AB. Sabemos que o vetor AM é igual a lambda vezes o vetor MB. Nosso objetivo é expressar o vetor CM utilizando os vetores AC e BC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente a ideia de divisão de um segmento em uma certa proporção e a combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o ponto M divide o segmento AB. A relação AM = lambda,MB indica que M divide AB na razão lambda : 1. Isso significa que a distância de A até M é lambda vezes a distância de M até B.
Passo 3
Vamos escrever a posição vetorial de M em termos de A e B. Usando a fórmula da divisão interna de um segmento por um ponto:
AM = lambda,MB implies AM = lambda (B - M)
Somando AM em ambos os lados:
A + AM = M implies M = A + lambda (B - M)
Resolvendo para M:
M = A + lambda B1 + lambda
Passo 4
Agora, queremos encontrar CM. Sabemos que:
CM = M - C
Substituindo a expressão de M que encontramos:
CM = A + lambda B1 + lambda - C
Passo 5
Vamos reorganizar os termos para expressar CM em função de AC e BC. Sabemos que: