Dado um triângulo , seja um ponto do segmento . Suponha que o vetor é igual a vezes o vetor . Exprima o vetor em função dos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá um triângulo e um ponto no lado . Sabemos que o vetor é igual a vezes o vetor . Nosso objetivo é expressar o vetor utilizando os vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente a ideia de divisão de um segmento em uma certa proporção e a combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o ponto divide o segmento . A relação indica que divide na razão . Isso significa que a distância de até é vezes a distância de até .
Passo 3
Vamos escrever a posição vetorial de em termos de e . Usando a fórmula da divisão interna de um segmento por um ponto:
Somando em ambos os lados:
Resolvendo para :
Passo 4
Agora, queremos encontrar . Sabemos que:
Substituindo a expressão de que encontramos:
Passo 5
Vamos reorganizar os termos para expressar em função de e . Sabemos que: