Dado um triângulo , seja um ponto do segmento . Suponha que o vetor é igual a vezes o vetor . Exprima o vetor em função dos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um triângulo e um ponto no lado . Sabemos que o vetor é igual a vezes o vetor . Nosso objetivo é expressar o vetor utilizando os vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente a ideia de divisão de um segmento em uma certa proporção e a combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o ponto divide o segmento . A relação indica que divide na razão . Isso significa que a distância de até é vezes a distância de até .

Passo 3

Vamos escrever a posição vetorial de em termos de e . Usando a fórmula da divisão interna de um segmento por um ponto:
Somando em ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, queremos encontrar . Sabemos que:
Substituindo a expressão de que encontramos:

Passo 5

Vamos reorganizar os termos para expressar em função de e . Sabemos que:
Substituindo essas expressões na equação de :

Passo 6

Distribuindo os termos no numerador:
Fatorando :
Simplificando:
Os termos se cancelam:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Resposta

O vetor pode ser expresso como:

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Calcule e :
Sejam
Encontre:
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Determine e , sabendo que: