Dado um triângulo triang<= A B C, seja M um ponto do segmento A B. Suponha que o vetor A M é igual a lambda vezes o vetor M B. Exprima o vetor C M em função dos vetores A C e B C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um triângulo triang<= ABC e um ponto M no lado AB. Sabemos que o vetor AM é igual a lambda vezes o vetor MB. Nosso objetivo é expressar o vetor CM utilizando os vetores AC e BC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente a ideia de divisão de um segmento em uma certa proporção e a combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o ponto M divide o segmento AB. A relação AM = lambda,MB indica que M divide AB na razão lambda : 1. Isso significa que a distância de A até M é lambda vezes a distância de M até B.

Passo 3

Vamos escrever a posição vetorial de M em termos de A e B. Usando a fórmula da divisão interna de um segmento por um ponto:
AM = lambda,MB implies AM = lambda (B - M)
Somando AM em ambos os lados:
A + AM = M implies M = A + lambda (B - M)
Resolvendo para M:
M = A + lambda B1 + lambda

Passo 4

Agora, queremos encontrar CM. Sabemos que:
CM = M - C
Substituindo a expressão de M que encontramos:
CM = A + lambda B1 + lambda - C

Passo 5

Vamos reorganizar os termos para expressar CM em função de AC e BC. Sabemos que:
AC = C - A implies A = C - AC
BC = C - B implies B = C - BC
Substituindo essas expressões na equação de CM:
CM = (C - AC) + lambda (C - BC)1 + lambda - C

Passo 6

Distribuindo os termos no numerador:
CM = C - AC + lambda C - lambda BC1 + lambda - C
Fatorando C:
CM = (1 + lambda)C - AC - lambda BC1 + lambda - C
Simplificando:
CM = C - AC + lambda BC1 + lambda - C
Os termos C se cancelam:
CM = -AC + lambda BC1 + lambda

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por -1, obtemos:
CM = AC + lambda BC1 + lambda

Resposta

O vetor CM pode ser expresso como:
CM = ,AC; +; lambda,BC,,1 + lambda,

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