Dado um triângulo triang<= A B C, sejam M, N, P os pontos médios dos segmentos A B, B C e CA respectivamente. Exprima os vetores BP, AN e CM em função dos vetores A B e A C.

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo triang<= ABC e os pontos médios M, N, P dos lados AB, BC e CA, respectivamente. A missão aqui é expressar os vetores BP, AN e CM usando apenas os vetores AB e AC. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ponto médio de um segmento divide ele em duas partes iguais. Ou seja, se M é o ponto médio de AB, então AM = 12AB. Vamos usar essa ideia para encontrar as posições dos pontos M, N e P.

Passo 3

Vamos definir as posições dos pontos em termos dos vetores AB e AC. Vamos considerar o ponto A na origem, então:
  • Posição de B: AB
  • Posição de C: AC
  • Posição de M (ponto médio de AB): AM = 12AB
  • Posição de N (ponto médio de BC): BN = 12(BC) = 12(AC - AB)
  • Posição de P (ponto médio de CA): AP = 12AC

Passo 4

Agora, vamos encontrar cada um dos vetores pedidos:
  1. BP:
    • Sabemos que BP = AP - AB
    • Substituindo: BP = 12AC - AB
    • Então, BP = -AB + 12AC
  2. AN:
    • Temos que AN = AB + BN
    • Substituindo: AN = AB + 12(AC - AB)
    • Distribuindo: AN = AB + 12AC - 12AB
    • Simplificando: AN = 12AB + 12AC
  3. CM:
    • Sabemos que CM = AM - AC
    • Substituindo: CM = 12AB - AC
    • Assim, CM = 12AB - AC

Resposta

As expressões dos vetores são:
BP = -,AB + 12,AC
AN = 12,AB + 12,AC
CM = 12,AB - AC

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