Dado um triângulo , sejam os pontos médios dos segmentos , e CA respectivamente. Exprima os vetores e em função dos vetores e .

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo e os pontos médios , , dos lados , e , respectivamente. A missão aqui é expressar os vetores , e usando apenas os vetores e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ponto médio de um segmento divide ele em duas partes iguais. Ou seja, se é o ponto médio de , então . Vamos usar essa ideia para encontrar as posições dos pontos , e .

Passo 3

Vamos definir as posições dos pontos em termos dos vetores e . Vamos considerar o ponto na origem, então:
  • Posição de :
  • Posição de :
  • Posição de (ponto médio de ):
  • Posição de (ponto médio de ):
  • Posição de (ponto médio de ):

Passo 4

Agora, vamos encontrar cada um dos vetores pedidos:
  1. :
    • Sabemos que
    • Substituindo:
    • Então,
  2. :
    • Temos que
    • Substituindo:
    • Distribuindo:
    • Simplificando:
  3. :
    • Sabemos que
    • Substituindo:
    • Assim,

Resposta

As expressões dos vetores são:

Exercícios relacionados

Dados os vetores e tais que e é paralelo a . Prove que é paralelo a se, e somente se, é paralelo a .
Calcule onde
Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que:
a)
b)
c)
A medida angular entre e é e sua normas são, 2 e 3 . Calcule: