Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que:
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é provar três propriedades envolvendo vetores e multiplicação por escalares. Pra isso, vamos usar as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares. Basicamente, vamos manipular as expressões passo a passo para mostrar que os dois lados das igualdades são iguais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte:
a)
Primeiro, vamos entender o que cada lado da igualdade representa. Do lado esquerdo, temos , que significa que estamos multiplicando o vetor por . Do lado direito, temos , que é o vetor invertido na direção.
A propriedade que vamos usar aqui é que multiplicar um vetor por um escalar negativo é o mesmo que multiplicar o vetor pelo escalar positivo e depois inverter a direção do vetor. Vamos ver isso na prática:
Isso mostra que os dois lados são iguais.
Passo 3
Agora vamos para a segunda parte:
b)
Aqui, do lado esquerdo, temos , que significa que estamos multiplicando o vetor por . Do lado direito, novamente, temos .
Vamos lembrar que multiplicar um vetor por inverte sua direção. Então, é o vetor invertido. Agora, multiplicando por :
Mais uma vez, os dois lados são iguais.
Passo 4
Finalmente, vamos para a terceira parte:
c)
Do lado esquerdo, temos . Vamos quebrar isso: primeiro, multiplicamos por , e depois multiplicamos o resultado por . Do lado direito, temos simplesmente .
Vamos fazer as operações passo a passo:
Os sinais negativos se cancelam, deixando apenas .
Resposta
Através das propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares, provamos que: