Dado o triângulo de vértices . Calcule: A área do triângulo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nos pontos , e . A missão é calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, mais especificamente vetores e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que representem os lados do triângulo. Vamos escolher os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais e cuja magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por esses vetores. A fórmula do produto vetorial é:
Calculando o determinante:
= i cdot 6 - j cdot (-5) + k cdot (-4)
= 6i + 5j - 4k
Passo 4
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores |AB times AC| = raiz6^2 + 5^2 + (-4)^2 = raiz36 + 25 + 16 = raiz77 e . A fórmula da magnitude é:
Passo 5
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, basta dividir a magnitude que encontramos por 2:
Área do triângulo ABC = |AB times AC|2 = raiz772 Áâ