Dado o triângulo de vértices A(-3,1,4), B(-4,-1,0), C(-4,3,5). Calcule: A área do triângulo A B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nos pontos , e . A missão é calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, mais especificamente vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que representem os lados do triângulo. Vamos escolher os vetores AB = B - A = (-4 - (-3), -1 - 1, 0 - 4) = (-1, -2, -4) e AC = C - A = (-4 - (-3), 3 - 1, 5 - 4) = (-1, 2, 1) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 3

Agora que temos os vetores AB times AC = i & j & k -1 & -2 & -4 -1 & 2 & 1 e AB times AC = i cdot [(-2)(1) - (-4)(2)] - j cdot [(-1)(1) - (-4)(-1)] + k cdot [(-1)(2) - (-2)(-1)] , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais e cuja magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por esses vetores. A fórmula do produto vetorial é:
= i cdot (-2 + 8) - j cdot (-1 - 4) + k cdot (-2 - 2)
Calculando o determinante:
= i cdot 6 - j cdot (-5) + k cdot (-4)
= 6i + 5j - 4k

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores |AB times AC| = raiz6^2 + 5^2 + (-4)^2 = raiz36 + 25 + 16 = raiz77 e . A fórmula da magnitude é:

Passo 5

Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, basta dividir a magnitude que encontramos por 2:
Área do triângulo ABC = |AB times AC|2 = raiz772 Áâ

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

Exercícios relacionados