Inverta por escalonamento as seguintes matrizes
Lista 1 - Alg Lin

Passo 1

Beleza, vamos inverter a matriz que foi dada usando o método de escalonamento. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo da matriz inversa. Para isso, vamos precisar usar operações elementares de linha para transformar a matriz original na matriz identidade, ao mesmo tempo aplicando essas mesmas operações na matriz identidade para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original junto com a matriz identidade, formando uma matriz aumentada. Isso ajuda a acompanhar as operações que vamos fazer.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda (a matriz original) na matriz identidade usando operações de linha. Começamos garantindo que o primeiro elemento (chamado de pivô) seja igual a 1. No nosso caso, já temos 1 na posição (1,1), então podemos seguir para o próximo passo.

Passo 4

Agora, queremos zerar o elemento abaixo do pivô, ou seja, transformar o 2 na posição (2,1) em 0. Para isso, vamos usar uma operação de linha: substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha.
Aplicando essa operação:

Passo 5

Agora, queremos que o elemento na posição (2,2) seja 1, o que já está feito. Em seguida, vamos zerar o elemento acima deste pivô, ou seja, o 2 na posição (1,2). Para isso, vamos substituir a primeira linha pela primeira linha menos 2 vezes a segunda linha.
Aplicando essa operação:

Passo 6

Agora a parte esquerda da matriz aumentada virou a matriz identidade:
Isso significa que a parte da direita é a inversa da matriz original.

Resposta

A matriz inversa é:

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Determine .
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Sendo o ponto , encontre: As componentes do vetor onde .