Seja A uma matriz fixa de Mn(R) e a transformação A: Mn(R) Mn(R) dada por A(X)=X A-A X, forall X in Mn(R). Quais são as matrizes pertencentes ao Ker(A) ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear A que pega uma matriz X e retorna XA - AX, onde A é uma matriz fixa de ordem n. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente sobre espaço vetorial de matrizes e kernel de transformações lineares. Para resolver isso, precisamos saber o que é o kernel de uma transformação e como identificar as matrizes que satisfazem a condição A(X) = 0.

Passo 2

O kernel de uma transformação linear, denotado por Ker(A), é o conjunto de todas as matrizes X que, quando aplicadas na transformação A, resultam na matriz zero. Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes X tais que:
A(X) = XA - AX = 0
Isso significa que X comuta com A, ou seja, XA = AX.

Passo 3

Para encontrar essas matrizes X, precisamos entender as propriedades das matrizes que comutam com A. Em geral, o conjunto de todas as matrizes que comutam com uma matriz fixa A forma um subespaço vetorial, conhecido como centralizador de A. Este subespaço inclui todas as matrizes que preservam a estrutura de A quando realizadas multiplicações à esquerda ou à direita.

Passo 4

Dependendo das propriedades de A, como se ela é diagonalizável ou não, o kernel pode ter diferentes formas. Por exemplo, se A for uma matriz diagonal, então todas as matrizes diagonais com elementos compatíveis na mesma posição vão comutar com A. Se A não for diagonalizável, a estrutura do kernel pode ser mais complexa, envolvendo combinações lineares de matrizes que respeitam a forma de Jordan de A.

Passo 5

Em resumo, as matrizes que pertencem ao Ker(A) são todas aquelas que comutam com a matriz A, ou seja, todas as matrizes X para as quais XA = AX. Esse conjunto forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as matrizes n times n com entradas reais.

Resposta

As matrizes pertencentes ao Ker(A) são todas as matrizes X in Mn(R) que comutam com A, ou seja, satisfazem XA = AX.

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