Seja uma matriz fixa de e a transformação dada por . Quais são as matrizes pertencentes ao ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que pega uma matriz e retorna , onde é uma matriz fixa de ordem . O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente sobre espaço vetorial de matrizes e kernel de transformações lineares. Para resolver isso, precisamos saber o que é o kernel de uma transformação e como identificar as matrizes que satisfazem a condição .
Passo 2
O kernel de uma transformação linear, denotado por , é o conjunto de todas as matrizes que, quando aplicadas na transformação , resultam na matriz zero. Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes tais que:
Isso significa que comuta com , ou seja, .
Passo 3
Para encontrar essas matrizes , precisamos entender as propriedades das matrizes que comutam com . Em geral, o conjunto de todas as matrizes que comutam com uma matriz fixa forma um subespaço vetorial, conhecido como centralizador de . Este subespaço inclui todas as matrizes que preservam a estrutura de quando realizadas multiplicações à esquerda ou à direita.
Passo 4
Dependendo das propriedades de , como se ela é diagonalizável ou não, o kernel pode ter diferentes formas. Por exemplo, se for uma matriz diagonal, então todas as matrizes diagonais com elementos compatíveis na mesma posição vão comutar com . Se não for diagonalizável, a estrutura do kernel pode ser mais complexa, envolvendo combinações lineares de matrizes que respeitam a forma de Jordan de .
Passo 5
Em resumo, as matrizes que pertencem ao são todas aquelas que comutam com a matriz , ou seja, todas as matrizes para as quais . Esse conjunto forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as matrizes com entradas reais.
Resposta
As matrizes pertencentes ao são todas as matrizes que comutam com , ou seja, satisfazem .