Seja
uma matriz fixa de
e a transformação
dada por
. Quais são as matrizes pertencentes ao
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que pega uma matriz
e retorna
, onde
é uma matriz fixa de ordem
. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente sobre espaço vetorial de matrizes e kernel de transformações lineares. Para resolver isso, precisamos saber o que é o kernel de uma transformação e como identificar as matrizes que satisfazem a condição
.
Passo 2
O kernel de uma transformação linear, denotado por
, é o conjunto de todas as matrizes
que, quando aplicadas na transformação
, resultam na matriz zero. Ou seja, queremos encontrar todas as matrizes
tais que:
Isso significa que
comuta com
, ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar essas matrizes
, precisamos entender as propriedades das matrizes que comutam com
. Em geral, o conjunto de todas as matrizes que comutam com uma matriz fixa
forma um subespaço vetorial, conhecido como centralizador de
. Este subespaço inclui todas as matrizes que preservam a estrutura de
quando realizadas multiplicações à esquerda ou à direita.
Passo 4
Dependendo das propriedades de
, como se ela é diagonalizável ou não, o kernel pode ter diferentes formas. Por exemplo, se
for uma matriz diagonal, então todas as matrizes diagonais com elementos compatíveis na mesma posição vão comutar com
. Se
não for diagonalizável, a estrutura do kernel pode ser mais complexa, envolvendo combinações lineares de matrizes que respeitam a forma de Jordan de
.
Passo 5
Em resumo, as matrizes que pertencem ao
são todas aquelas que comutam com a matriz
, ou seja, todas as matrizes
para as quais
. Esse conjunto forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as matrizes
com entradas reais.
Resposta
As matrizes pertencentes ao
são todas as matrizes
que comutam com
, ou seja, satisfazem
.