Dado u=(2,-1,1) determine um vetor v colinear com u, de sentido contrário, e cujo comprimento seja o triplo do comprimento de u. Esboce. Resp. v=(-6,3,-3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o vetor u = (2, -1, 1) e precisamos encontrar um vetor v que seja colinear com u, ou seja, que esteja na mesma linha ou direção. Além disso, v deve ter o sentido contrário ao de u e um comprimento que seja o triplo do comprimento de u. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores, como multiplicação por escalar e cálculo de comprimento.

Passo 2

Para que v seja colinear com u, podemos expressá-lo como um múltiplo escalar de u. Ou seja, v = k cdot u, onde k é um número real. Como queremos que o vetor tenha o sentido contrário, sabemos que k deve ser negativo.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que o comprimento de v seja o triplo do comprimento de u. O comprimento (ou norma) de um vetor a = (ax, ay, az) é dado por:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Então, o comprimento de u é:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 4

Queremos que |v| = 3 |u|. Sabemos que:
|v| = |k| cdot |u|
Portanto:
|k| cdot |u| = 3 |u|
Dividindo ambos os lados por |u|, temos:
|k| = 3
Como k deve ser negativo (para o sentido contrário), temos k = -3.

Passo 5

Finalmente, substituímos o valor de k na expressão de v:
v = k cdot u = -3 cdot (2, -1, 1) = (-6, 3, -3)

Resposta

v = (-6, 3, -3)

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