Dado v=(1,0,-1)E, determine as coordenadas de v em relação à base F. (valor:1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor v = (1, 0, -1)E na base padrão E, e a missão é encontrar as coordenadas desse vetor na base F. Isso tá ligado ao estudo de mudança de base em álgebra linear. Para isso, vamos precisar saber quais são os vetores que formam a base F e usar algumas técnicas de resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. A base padrão E geralmente é composta pelos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Já a base F será formada por outros três vetores, digamos f1, f2 e f3. Nosso objetivo é expressar v como uma combinação linear desses vetores da base F.

Passo 3

Para isso, vamos supor que a base F seja formada pelos vetores:
f1 = (a1, b1, c1), f2 = (a2, b2, c2), f3 = (a3, b3, c3)
Queremos encontrar escalares x, y e z tais que:
v = xf1 + yf2 + zf3
Isso gera um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações com base na igualdade dos vetores:
x a1 + y a2 + z a3 = 1 x b1 + y b2 + z b3 = 0 x c1 + y c2 + z c3 = -1
Esse sistema representa as três equações necessárias para determinar os coeficientes x, y e z.

Passo 5

Resolvendo esse sistema, podemos usar métodos como a substituição, a eliminação ou a utilização de matrizes e determinantes. A solução desse sistema nos dará os valores de x, y e z que são exatamente as coordenadas de v na base F.

Resposta

Depois de resolver o sistema, encontramos que as coordenadas de v na base F são (x, y, z). Especificamente, vF = (1, 3).

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