Dado , determine as coordenadas de em relação à base . (valor:1,3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor na base padrão , e a missão é encontrar as coordenadas desse vetor na base . Isso tá ligado ao estudo de mudança de base em álgebra linear. Para isso, vamos precisar saber quais são os vetores que formam a base e usar algumas técnicas de resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. A base padrão geralmente é composta pelos vetores , e . Já a base será formada por outros três vetores, digamos , e . Nosso objetivo é expressar como uma combinação linear desses vetores da base .
Passo 3
Para isso, vamos supor que a base seja formada pelos vetores:
Queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso gera um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os valores de , e .
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações com base na igualdade dos vetores:
Esse sistema representa as três equações necessárias para determinar os coeficientes , e .
Passo 5
Resolvendo esse sistema, podemos usar métodos como a substituição, a eliminação ou a utilização de matrizes e determinantes. A solução desse sistema nos dará os valores de , e que são exatamente as coordenadas de na base .
Resposta
Depois de resolver o sistema, encontramos que as coordenadas de na base são . Especificamente, .