Scja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Verifique que é base de . Sugestão: Basta mostrar que ć L.I. (valor:0,7)
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a parada aqui! A gente tem um conjunto de vetores definidos em termos de uma base padrão do espaço . A missão é mostrar que também forma uma base de . Para isso, precisamos provar que os vetores de são linearmente independentes (L.I.).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que , então os vetores são L.I.
Passo 3
Vamos escrever as expressões dos vetores em termos da base :
Passo 4
Agora, montamos a combinação linear igual a zero:
Substituindo:
Passo 5
Distribuindo os coeficientes:
Passo 6
Como são uma base, eles são L.I., então os coeficientes de cada um devem ser zero:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: →
Substituindo na primeira equação:
Então, e
Da segunda equação:
Passo 8
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.