Scja E=(c1 cdot c2, c3) uma base de V^3 e seja F=(f1, f2, f3) uma tripla ordenada de vetores, tais que:
l f1=2 e1-e2-e3 f2=e1-e3 f3=e2
Verifique que F=(f1, J2, f3) é base de V^3. Sugestão: Basta mostrar que (f1, f2, f3) ć L.I. (valor:0,7)

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a parada aqui! A gente tem um conjunto de vetores definidos em termos de uma base padrão do espaço . A missão é mostrar que também forma uma base de . Para isso, precisamos provar que os vetores de são linearmente independentes (L.I.).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que , então os vetores são L.I.

Passo 3

Vamos escrever as expressões dos vetores f1 = 2e1 - e2 - e3 f2 = e1 - e3 f3 = e2 em termos da base :

Passo 4

Agora, montamos a combinação linear igual a zero:
af1 + bf2 + cf3 = 0
Substituindo:
a(2e1 - e2 - e3) + b(e1 - e3) + ce2 = 0

Passo 5

Distribuindo os coeficientes:
(2a + b)e1 + (-a + c)e2 + (-a - b)e3 = 0

Passo 6

Como 2a + b = 0 -a + c = 0 -a - b = 0 são uma base, eles são L.I., então os coeficientes de cada um devem ser zero:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Então, e
  4. Da segunda equação:

Passo 8

Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, é uma base de .

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