Scja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Verifique que é base de . Sugestão: Basta mostrar que ć L.I. (valor:0,7)

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a parada aqui! A gente tem um conjunto de vetores definidos em termos de uma base padrão do espaço . A missão é mostrar que também forma uma base de . Para isso, precisamos provar que os vetores de são linearmente independentes (L.I.).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que , então os vetores são L.I.

Passo 3

Vamos escrever as expressões dos vetores em termos da base :

Passo 4

Agora, montamos a combinação linear igual a zero:
Substituindo:

Passo 5

Distribuindo os coeficientes:

Passo 6

Como são uma base, eles são L.I., então os coeficientes de cada um devem ser zero:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Então, e
  4. Da segunda equação:

Passo 8

Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, é uma base de .

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