Scja uma base de e seja uma tripla ordenada de vetores, tais que:
Verifique que F=(f1, J2, f3) é base de V^3. Sugestão: Basta mostrar que (f1, f2, f3) ć L.I. (valor:0,7)
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a parada aqui! A gente tem um conjunto de vetores definidos em termos de uma base padrão do espaço . A missão é mostrar que também forma uma base de . Para isso, precisamos provar que os vetores de são linearmente independentes (L.I.).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que , então os vetores são L.I.
Passo 3
Vamos escrever as expressões dos vetores f1 = 2e1 - e2 - e3 f2 = e1 - e3 f3 = e2 em termos da base :
Passo 4
Agora, montamos a combinação linear igual a zero:
af1 + bf2 + cf3 = 0
Substituindo:
a(2e1 - e2 - e3) + b(e1 - e3) + ce2 = 0
Passo 5
Distribuindo os coeficientes:
(2a + b)e1 + (-a + c)e2 + (-a - b)e3 = 0
Passo 6
Como 2a + b = 0 -a + c = 0 -a - b = 0 são uma base, eles são L.I., então os coeficientes de cada um devem ser zero:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: →
Substituindo na primeira equação:
Então, e
Da segunda equação:
Passo 8
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.