Dados os vetores u=(2,-3,-1) e v=(1,-1,4), calcular (u+v) cdot(v-u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores, u = (2, -3, -1) e v = (1, -1, 4), e pede para calcularmos o produto escalar de (u + v) com (v - u). Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a soma e subtração de vetores e o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma dos vetores u + v. Para somar dois vetores, somamos componente por componente:
u + v = (2 + 1, -3 + (-1), -1 + 4) = (3, -4, 3)

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre os vetores v - u:
v - u = (1 - 2, -1 - (-3), 4 - (-1)) = (-1, 2, 5)

Passo 4

Com as duas novas expressões vetoriais, vamos calcular o produto escalar entre elas. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
(3, -4, 3) cdot (-1, 2, 5) = (3)(-1) + (-4)(2) + (3)(5)

Passo 5

Vamos fazer as multiplicações:
(3)(-1) = -3 (-4)(2) = -8 (3)(5) = 15

Passo 6

Agora, somamos esses resultados:
-3 + (-8) + 15 = -11 + 15 = 4

Resposta

O valor de (u + v) cdot (v - u) é 4.

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