Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você trouxe. A matéria envolvida aqui é sobre Sistemas de Equações Diferenciais Lineares, onde temos várias equações envolvendo derivadas das funções desconhecidas. Para resolver, vamos precisar usar métodos de álgebra linear e teoria de sistemas lineares, como encontrar autovalores e autovetores, que nos ajudam a decifrar o comportamento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita o manuseio das equações. O sistema que temos é:
Podemos representar isso como:
y' = Ay
onde y1 y2 y3 e A = 1 & 0 & 1 0 & 2 & 6 0 & 1 & 3 é a matriz dos coeficientes:
Passo 3
Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Autovalores nos ajudam a entender como cada componente do sistema evolui com o tempo. Para isso, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Isso nos dá a equação característica que precisamos resolver para encontrar os autovalores .
As soluções da equação característica são os valores de (1 - lambda)lambda(-5 + lambda) = 0 que satisfazem:
lambda1 = 1, lambda2 = 0, lambda3 = 5
Então, temos três autovalores:
Passo 7
Com os autovalores encontrados, agora precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Isso é feito resolvendo para cada . Esses autovetores nos ajudarão a construir a solução geral do sistema.