Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você trouxe. A matéria envolvida aqui é sobre Sistemas de Equações Diferenciais Lineares, onde temos várias equações envolvendo derivadas das funções desconhecidas. Para resolver, vamos precisar usar métodos de álgebra linear e teoria de sistemas lineares, como encontrar autovalores e autovetores, que nos ajudam a decifrar o comportamento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita o manuseio das equações. O sistema que temos é:
Podemos representar isso como:
onde e é a matriz dos coeficientes:

Passo 3

Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores nos ajudam a entender como cada componente do sistema evolui com o tempo. Para isso, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Isso nos dá a equação característica que precisamos resolver para encontrar os autovalores .

Passo 4

Calculando :
O determinante desse matriz é:
Simplificando:

Passo 5

Expandindo a expressão dentro do determinante:
Substituindo de volta:
Fatorando:

Passo 6

As soluções da equação característica são os valores de que satisfazem:
Então, temos três autovalores:

Passo 7

Com os autovalores encontrados, agora precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Isso é feito resolvendo para cada . Esses autovetores nos ajudarão a construir a solução geral do sistema.

Passo 8

Vamos encontrar o autovetor para :
Resolvendo, encontramos que é livre, e podemos escolher , então e . Portanto, o autovetor é:

Passo 9

Agora, para :
Resolvendo, encontramos que , . Escolhendo , temos:

Passo 10

Por fim, para :
Resolvendo, descobrimos que , . Escolhendo , obtemos:

Passo 11

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções individuais:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde , e são constantes arbitrárias.

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