Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. y1^prime=y1+y3
y2^prime=2 y2+6 y3
y3^prime=y2+3 y3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você trouxe. A matéria envolvida aqui é sobre Sistemas de Equações Diferenciais Lineares, onde temos várias equações envolvendo derivadas das funções desconhecidas. Para resolver, vamos precisar usar métodos de álgebra linear e teoria de sistemas lineares, como encontrar autovalores e autovetores, que nos ajudam a decifrar o comportamento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita o manuseio das equações. O sistema que temos é:
y1' = y1 + y3 y2' = 2y2 + 6y3 y3' = y2 + 3y3
Podemos representar isso como:
y' = Ay
onde y1 y2 y3 e A = 1 & 0 & 1 0 & 2 & 6 0 & 1 & 3 é a matriz dos coeficientes:

Passo 3

Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Autovalores nos ajudam a entender como cada componente do sistema evolui com o tempo. Para isso, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Isso nos dá a equação característica que precisamos resolver para encontrar os autovalores .

Passo 4

Calculando A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 1 0 & 2 - lambda & 6 0 & 1 & 3 - lambda :
(1 - lambda) cdot [(2 - lambda)(3 - lambda) - 6 cdot 1] - 0 + 1 cdot [0 - (2 - lambda) cdot 0] = 0
O determinante desse matriz é:
(1 - lambda) cdot [(2 - lambda)(3 - lambda) - 6] = 0
Simplificando:

Passo 5

Expandindo a expressão dentro do determinante:
(2 - lambda)(3 - lambda) = 6 - 5lambda + lambda^2
Substituindo de volta:
(1 - lambda)(6 - 5lambda + lambda^2 - 6) = (1 - lambda)(-5lambda + lambda^2) = 0
Fatorando:
(1 - lambda)lambda(-5 + lambda) = 0

Passo 6

As soluções da equação característica são os valores de (1 - lambda)lambda(-5 + lambda) = 0 que satisfazem:
lambda1 = 1, lambda2 = 0, lambda3 = 5
Então, temos três autovalores:

Passo 7

Com os autovalores encontrados, agora precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Isso é feito resolvendo para cada . Esses autovetores nos ajudarão a construir a solução geral do sistema.

Passo 8

Vamos encontrar o autovetor para (A - I)v = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 6 0 & 1 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
v1 = 1 0 0
Resolvendo, encontramos que é livre, e podemos escolher , então e . Portanto, o autovetor é:

Passo 9

Agora, para Av = 1 & 0 & 1 0 & 2 & 6 0 & 1 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
v2 = -1 -3 1
Resolvendo, encontramos que , . Escolhendo , temos:

Passo 10

Por fim, para (A - 5I)v = -4 & 0 & 1 0 & -3 & 6 0 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
v3 = 1 8 4
Resolvendo, descobrimos que , . Escolhendo , obtemos:

Passo 11

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções individuais:
y(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Substituindo os valores encontrados:
y(t) = C1 e^t 1 0 0 + C2 e^0 cdot t -1 -3 1 + C3 e^5t 1 8 4
Simplificando:
y(t) = C1 e^t - C2 + C3 e^5t -3C2 + 8C3 e^5t C2 + 4C3 e^5t

Resposta

A solução geral do sistema é:
y1(t) = C1 e^t - C2 + C3 e^5t y2(t) = -3C2 + 8C3 e^5t y3(t) = C2 + 4C3 e^5t
onde , e são constantes arbitrárias.

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