Dado o vetor v=i+3 j, encontre um vetor, em R^2, unitário:
d) que faz um ângulo de 120^circ com v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado nos dá o vetor v = i + 3j e pede para encontrarmos um vetor unitário em R^2 que forme um ângulo de 120^circ com v. Isso envolve conceitos de geometria vetorial, como produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário tem comprimento (ou norma) igual a 1. A fórmula para a norma de um vetor a = a1i + a2j é:
|a| = raiza1^2 + a2^2
Aplicando isso ao vetor v:
|v| = raiz1^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de produto escalar. O produto escalar entre dois vetores v e w, que forma um ângulo theta entre eles, é dado por:
v cdot w = |v| cdot |w| cdot costheta
Como queremos um vetor unitário w, temos |w| = 1. O ângulo theta é 120^circ, então cos(120^circ) = -12. Substituindo na fórmula:
v cdot w = raiz10 cdot 1 cdot (-12) = -raiz102

Passo 4

Vamos chamar w = ai + bj. O produto escalar v cdot w é:
v cdot w = (1)(a) + (3)(b) = a + 3b
Igualando ao valor que encontramos:
a + 3b = -raiz102

Passo 5

Também sabemos que w é unitário, então sua norma é 1:
raiza^2 + b^2 = 1 implies a^2 + b^2 = 1
Agora temos um sistema de duas equações:
  1. a + 3b = -raiz102
  2. a^2 + b^2 = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema, podemos expressar a em termos de b da primeira equação:
a = -raiz102 - 3b
Substituindo na segunda equação:
(-raiz102 - 3b)^2 + b^2 = 1
Expandindo:
104 + 3raiz10b + 9b^2 + b^2 = 1 104 + 3raiz10b + 10b^2 = 1 104 - 1 + 3raiz10b + 10b^2 = 0 64 + 3raiz10b + 10b^2 = 0 32 + 3raiz10b + 10b^2 = 0

Passo 7

Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
3 + 6raiz10b + 20b^2 = 0
Rearranjando:
20b^2 + 6raiz10b + 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
b = -B pm raizB^2 - 4AC2A
Onde A = 20, B = 6raiz10 e C = 3.
Calculando o discriminante:
De
Então:
b = -6raiz10 pm raiz12040 = -6raiz10 pm 2raiz3040 = -3raiz10 pm raiz3020

Passo 8

Agora, encontramos dois valores para b:
  1. b = -3raiz10 + raiz3020
  2. b = -3raiz10 - raiz3020
Substituindo esses valores na expressão de a:
a = -raiz102 - 3b
Vamos calcular ambos os casos.

Passo 9

Primeira solução:
b = -3raiz10 + raiz3020
a = -raiz102 - 3 cdot -3raiz10 + raiz3020 = -raiz102 + 9raiz10 - 3raiz3020 = -10raiz10 + 9raiz10 - 3raiz3020 = -raiz10 - 3raiz3020
Segunda solução:
b = -3raiz10 - raiz3020
a = -raiz102 - 3 cdot -3raiz10 - raiz3020 = -raiz102 + 9raiz10 + 3raiz3020 = -10raiz10 + 9raiz10 + 3raiz3020 = -raiz10 + 3raiz3020

Resposta

Os vetores unitários que fazem um ângulo de 120^circ com v são:
w1 = -raiz10 - 3raiz3020i + -3raiz10 + raiz3020j
e
w2 = -raiz10 + 3raiz3020i + -3raiz10 - raiz3020j

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