Dado o vetor
, encontre um vetor, em
, unitário:
d) que faz um ângulo de
com
.
d) que faz um ângulo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado nos dá o vetor
e pede para encontrarmos um vetor unitário em
que forme um ângulo de
com
. Isso envolve conceitos de geometria vetorial, como produto escalar e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário tem comprimento (ou norma) igual a 1. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Aplicando isso ao vetor
:
Passo 3
Agora, vamos usar a definição de produto escalar. O produto escalar entre dois vetores
e
, que forma um ângulo
entre eles, é dado por:
Como queremos um vetor unitário
, temos
. O ângulo
é
, então
. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos chamar
. O produto escalar
é:
Igualando ao valor que encontramos:
Passo 5
Também sabemos que
é unitário, então sua norma é 1:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema, podemos expressar
em termos de
da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Passo 7
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Passo 8
Agora, encontramos dois valores para
:
Substituindo esses valores na expressão de
:
Vamos calcular ambos os casos.
Passo 9
Primeira solução:
Segunda solução:
Resposta
Os vetores unitários que fazem um ângulo de
com
são:
e
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule
e
que deve ser
?
Dado o vetor
, encontre um vetor, em
, unitário:
b) e ortogonal a
b) e ortogonal a
Dados o pontos
e
. Calcule:
a) os comprimentos dos lados do triângulo
a) os comprimentos dos lados do triângulo
Dado o vetor
, encontre um vetor, em
, unitário:
c) que faz um ângulo de com
ou
c) que faz um ângulo de