Dado o vetor , encontre um vetor, em , unitário:
d) que faz um ângulo de com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado nos dá o vetor e pede para encontrarmos um vetor unitário em que forme um ângulo de com . Isso envolve conceitos de geometria vetorial, como produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário tem comprimento (ou norma) igual a 1. A fórmula para a norma de um vetor é:
Aplicando isso ao vetor :

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de produto escalar. O produto escalar entre dois vetores e , que forma um ângulo entre eles, é dado por:
Como queremos um vetor unitário , temos . O ângulo é , então . Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos chamar . O produto escalar é:
Igualando ao valor que encontramos:

Passo 5

Também sabemos que é unitário, então sua norma é 1:
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema, podemos expressar em termos de da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:

Passo 7

Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 8

Agora, encontramos dois valores para :
Substituindo esses valores na expressão de :
Vamos calcular ambos os casos.

Passo 9

Primeira solução:
Segunda solução:

Resposta

Os vetores unitários que fazem um ângulo de com são:
e

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Seja . Calcule e que deve ser ?
Dado o vetor , encontre um vetor, em , unitário:
b) e ortogonal a
Dados o pontos e . Calcule:
a) os comprimentos dos lados do triângulo
Dado o vetor , encontre um vetor, em , unitário:
c) que faz um ângulo de com ou