Dado o vetor v=i+3 j, encontre um vetor, em R^2, unitário:
b) e ortogonal a v ;(-3raiz10, 1raiz10)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor v = i + 3,j no plano R^2. A tarefa é encontrar um vetor unitário que seja ortogonal a v. Isso envolve conceitos de geometria vetorial, especificamente de ortogonalidade e vetores unitários. Vamos precisar usar propriedades de vetores e entender como verificar a ortogonalidade entre eles.

Passo 2

Ortogonalidade de Vetores: Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se temos dois vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2), eles são ortogonais se:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 = 0
Vetor Unitário: Um vetor unitário é aquele que tem magnitude igual a 1. Para um vetor a = (a1, a2), a magnitude é:
|a| = raiza1^2 + a2^2
E o vetor unitário na direção de a é:
a = ( a1|a|, a2|a| )

Passo 3

Vamos encontrar um vetor u = (x, y) que seja ortogonal a v = (1, 3) e que seja unitário.
Primeiro, aplicamos a condição de ortogonalidade:
v cdot u = 1 cdot x + 3 cdot y = 0 Rightarrow x + 3y = 0 Rightarrow x = -3y

Passo 4

Agora, queremos que u seja um vetor unitário. Então, calculamos a magnitude de u:
|u| = raizx^2 + y^2 = 1
Substituímos x = -3y na equação da magnitude:
raiz(-3y)^2 + y^2 = 1 raiz9y^2 + y^2 = 1 raiz10y^2 = 1 raiz10 |y| = 1 |y| = 1raiz10 Rightarrow y = pm 1raiz10

Passo 5

Encontramos duas possibilidades para y:
  1. Se y = 1raiz10, então x = -3 cdot 1raiz10 = -3raiz10.
  2. Se y = -1raiz10, então x = -3 cdot (-1raiz10) = 3raiz10.
Portanto, os vetores unitários ortogonais a v são:
(-3raiz10, 1raiz10) e (3raiz10, -1raiz10)

Resposta

Um vetor unitário ortogonal a v é (-dfrac3raiz10,, dfrac1raiz10).

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