Seja . Calcule e que deve ser ?

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte questão: dado a matriz , precisamos calcular e . Além disso, queremos descobrir qual é a expressão geral para , onde é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar matrizes e entender como as potências de uma matriz funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que significa multiplicar a matriz por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita linha por coluna. Então:
Vamos calcular cada elemento da nova matriz:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Já sabemos que , então:
Ou seja, multiplicar por ele mesmo de novo não muda nada, ainda temos a mesma matriz .

Passo 4

Percebemos que, ao multiplicar a matriz por ela mesma qualquer número de vezes, continuamos obtendo a mesma matriz . Isso significa que:

Resposta

Para todo número inteiro positivo , a potência da matriz é igual à própria matriz . Ou seja,

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Sejam e
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