Seja A=(rr12 & -12 -12 & 12). Calcule A^2 e A^3 O que deve ser A^n ?

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte questão: dado a matriz 12 & -12 -12 & 12 , precisamos calcular e . Além disso, queremos descobrir qual é a expressão geral para , onde é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar matrizes e entender como as potências de uma matriz funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 12 & -12 -12 & 12 times 12 & -12 -12 & 12 , que significa multiplicar a matriz (12) times (12) + (-12) times (-12) = 14 + 14 = 12 por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita linha por coluna. Então:
(12) times (-12) + (-12) times (12) = -14 - 14 = -12
Vamos calcular cada elemento da nova matriz:
  • Elemento (1,1):
(-12) times (12) + (12) times (-12) = -14 - 14 = -12
  • Elemento (1,2):
(-12) times (-12) + (12) times (12) = 14 + 14 = 12
  • Elemento (2,1):
A^2 = 12 & -12 -12 & 12 = A
  • Elemento (2,2):
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = A times A = A^2 = A . Já sabemos que , então:
Ou seja, multiplicar por ele mesmo de novo não muda nada, ainda temos a mesma matriz .

Passo 4

Percebemos que, ao multiplicar a matriz A^n = A para todo n >= 1 por ela mesma qualquer número de vezes, continuamos obtendo a mesma matriz . Isso significa que:

Resposta

Para todo número inteiro positivo A^n = A , a potência da matriz é igual à própria matriz . Ou seja,

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