Seja
. Calcule
e
que deve ser
?
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte questão: dado a matriz
, precisamos calcular
e
. Além disso, queremos descobrir qual é a expressão geral para
, onde
é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar matrizes e entender como as potências de uma matriz funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que significa multiplicar a matriz
por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita linha por coluna. Então:
Vamos calcular cada elemento da nova matriz:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Já sabemos que
, então:
Ou seja, multiplicar
por ele mesmo de novo não muda nada, ainda temos a mesma matriz
.
Passo 4
Percebemos que, ao multiplicar a matriz
por ela mesma qualquer número de vezes, continuamos obtendo a mesma matriz
. Isso significa que:
Resposta
Para todo número inteiro positivo
, a potência da matriz
é igual à própria matriz
. Ou seja,
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, encontre um vetor, em
, unitário:
b) e ortogonal a
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Sejam
e
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d) que faz um ângulo de com
.
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Dados o pontos
e
. Calcule:
a) os comprimentos dos lados do triângulo
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