Verifique se o conjunto de vetores u, v, w, é uma base ortonormal. Sendo u=(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3), v=(1raiz6, -2raiz6, 1raiz6) e w=(-1raiz2, 0, 1raiz2)

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui é um conjunto de três vetores: u, v e w. A pergunta é: esse conjunto forma uma base ortonormal? Para responder isso, vamos precisar entender dois conceitos principais da álgebra linear: base e ortonormalidade. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos de comprimento 1 (normalizados) e mutuamente perpendiculares (ortogonais entre si). Vamos verificar passo a passo se isso é verdade para esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se cada vetor tem comprimento 1. O comprimento (ou norma) de um vetor x = (x1, x2, x3) é dado por:
|x| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2
Vamos calcular a norma de cada vetor.

Passo 3

Calculando a norma de u:
|u| = raiz(1raiz3)^2 + (1raiz3)^2 + (1raiz3)^2 = raiz13 + 13 + 13 = raiz1 = 1
Então, u tem comprimento 1.

Passo 4

Agora, a norma de v:
|v| = raiz(1raiz6)^2 + (-2raiz6)^2 + (1raiz6)^2 = raiz16 + 46 + 16 = raiz1 = 1
Então, v também tem comprimento 1.

Passo 5

Por fim, calculamos a norma de w:
|w| = raiz(-1raiz2)^2 + 0^2 + (1raiz2)^2 = raiz12 + 0 + 12 = raiz1 = 1
Então, w também tem comprimento 1.

Passo 6

Agora que sabemos que todos os vetores têm norma igual a 1, vamos verificar se eles são ortogonais entre si. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero. O produto escalar de a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto escalar de u e v:
u cdot v = (1raiz3)(1raiz6) + (1raiz3)(-2raiz6) + (1raiz3)(1raiz6)
Simplificando:
= 1raiz18 - 2raiz18 + 1raiz18 = 0
Então, u e v são ortogonais.

Passo 8

Agora, o produto escalar de u e w:
u cdot w = (1raiz3)(-1raiz2) + (1raiz3)(0) + (1raiz3)(1raiz2)
Simplificando:
= -1raiz6 + 0 + 1raiz6 = 0
Então, u e w são ortogonais.

Passo 9

Por fim, o produto escalar de v e w:
v cdot w = (1raiz6)(-1raiz2) + (-2raiz6)(0) + (1raiz6)(1raiz2)
Simplificando:
= -1raiz12 + 0 + 1raiz12 = 0
Então, v e w também são ortogonais.

Resposta

Como todos os vetores têm comprimento 1 e são mutuamente ortogonais, o conjunto u, v, w é uma base ortonormal.

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