Verifique se a base beta=u, v, w onde: u=(0, -raiz22, raiz22) v=(raiz63,-raiz66,-raiz66) w= (raiz33, raiz33, raiz33) é ORTONOMAL.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a base é ortonormal. Ortonormal significa que os vetores são unitários (ou seja, têm norma igual a 1) e são ortogonais entre si (o produto escalar entre qualquer par de vetores é zero). Para isso, vamos precisar calcular os produtos escalares entre os vetores e as normas de cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e u cdot v = 0 cdot raiz63 + (-raiz22) cdot (-raiz66) + (raiz22) cdot (-raiz66) . O produto escalar de dois vetores 0 + raiz2 cdot raiz612 + -raiz2 cdot raiz612 = 0 + raiz1212 - raiz1212 = 0 e é dado por:
Aplicando isso:
Calculando cada termo:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u cdot w = 0 cdot raiz33 + (-raiz22) cdot raiz33 + (raiz22) cdot raiz33 e 0 + -raiz66 + raiz66 = 0 :
Calculando cada termo:
Então, .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre v cdot w = raiz63 cdot raiz33 + (-raiz66) cdot raiz33 + (-raiz66) cdot raiz33 e raiz189 - raiz1818 - raiz1818 = 3raiz29 - 3raiz218 - 3raiz218 = raiz23 - raiz26 - raiz26 = 0 :
Calculando cada termo:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos verificar se cada vetor tem norma igual a 1. A norma de um vetor |a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 é dada por:
|u| = raiz0^2 + (-raiz22)^2 + (raiz22)^2 = raiz0 + 24 + 24 = raiz1 = 1
Vamos calcular as normas:
  1. Para |v| = raiz(raiz63)^2 + (-raiz66)^2 + (-raiz66)^2 = raiz69 + 636 + 636 = raiz23 + 16 + 16 = raiz1 = 1 :
|w| = raiz(raiz33)^2 + (raiz33)^2 + (raiz33)^2 = raiz39 + 39 + 39 = raiz1 = 1
  1. Para :
  1. Para :
Todas as normas são iguais a 1.

Resposta

Sim, a base é ortonormal, pois os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma igual a 1.

Exercícios relacionados

Verifique se o conjunto de vetores u, v, w, é uma base ortonormal. Sendo u=(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3), v=(1raiz6, -2raiz6, 1raiz6) e w=(-1raiz2, 0, 1raiz2)
Se u+v+w=0,|u|=32,|v|=12 e |w|=2, calcule u cdot v+v cdot w+w cdot u R=-134
Dado o vetor u=(2,1,0). Determine um v=(x, y, z) ortogonal ao eixo O z, sabendo-se que |u wed>= v|=6 e u cdot v=2.
Decompor um vetor v=(-1,2,3) em dois vetores u e z tais que u é paralelo a w e z perp w sendo w= (2,0,-1).