Dado o vetor u (3, -2, -1, 0) e o sistema linear:
2 x1+4 x2-2 x3+x4=0 -2 x1-5 x2+7 x3+3 x4=0 3 x1+7 x2-8 x3+6 x4=0
Verifique se u pertence a NulA.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor u = (3, -2, -1, 0) e um sistema de equações lineares. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de NulA (ou Núcleo de A). Nosso objetivo é verificar se o vetor u pertence a NulA.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é NulA. Em Álgebra Linear, o NulA é o conjunto de todos os vetores x que, quando multiplicados pela matriz A dos coeficientes do sistema, resultam no vetor zero. Ou seja, x pertence a NulA se e somente se:
A x = 0

Passo 3

Agora, vamos identificar a matriz A a partir do sistema de equações dado:
A = 2 & 4 & -2 & 1 -2 & -5 & 7 & 3 3 & 7 & -8 & 6

Passo 4

Para verificar se u pertence a NulA, precisamos multiplicar a matriz A pelo vetor u e ver se o resultado é o vetor zero. Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 5

Vamos calcular cada componente da multiplicação 2 cdot 3 + 4 cdot (-2) + (-2) cdot (-1) + 1 cdot 0 = 6 - 8 + 2 + 0 = 0 :
  1. Primeira linha:
    -2 cdot 3 + (-5) cdot (-2) + 7 cdot (-1) + 3 cdot 0 = -6 + 10 - 7 + 0 = -3
  2. Segunda linha:
    3 cdot 3 + 7 cdot (-2) + (-8) cdot (-1) + 6 cdot 0 = 9 - 14 + 8 + 0 = 3
  3. Terceira linha:
    A u = 0 -3 3
Então, o resultado da multiplicação é:

Resposta

Como não é o vetor zero, u não pertence a NulA.

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