Determine um conjunto gerador para o espaço nulo do sistema de equações a seguir:
Passo 1
Vamos resolver um sistema de equações lineares para encontrar o espaço nulo desse sistema. Isso significa que queremos descobrir todas as combinações de variáveis que satisfazem as equações dadas. Para isso, vamos utilizar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar um conjunto gerador para o espaço nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Nosso objetivo é simplificar essa matriz até a forma escalonada por linhas, onde podemos identificar as variáveis livres e variáveis pivô. Vamos começar eliminando os termos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Passo 4
Primeiro, vamos trocar a primeira linha pela segunda para facilitar a eliminação:
Passo 5
Agora, vamos eliminar os termos da primeira coluna nas linhas 2 e 3. Para a linha 2:
Para a linha 3:
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 6
Em seguida, vamos simplificar a terceira linha. Podemos observar que a terceira linha é uma múltipla da segunda. Vamos dividir a segunda linha por 5:
Agora, a matriz fica:
Passo 7
Subtraindo a segunda linha da terceira, eliminamos a duplicação:
A matriz simplificada é:
Passo 8
Agora, vamos expressar as equações correspondentes às linhas não nulas:
Identificamos que , e são variáveis livres porque não possuem pivôs.
Passo 9
Vamos expressar as variáveis dependentes ( e ) em função das variáveis livres:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 10
Agora, expressamos todas as variáveis em termos das livres:
Podemos escrever a solução vetorial como:
Resposta
Um conjunto gerador para o espaço nulo é formado pelos vetores: