Determine um conjunto gerador para o espaço nulo do sistema de equações a seguir:
-3 x1+6 x2-x3+x4-7 x5=0 x1-2 x2+2 x3+3 x4-x5=0 2 x1-4 x2+5 x3+8 x4-4 x5=0

Passo 1

Vamos resolver um sistema de equações lineares para encontrar o espaço nulo desse sistema. Isso significa que queremos descobrir todas as combinações de variáveis que satisfazem as equações dadas. Para isso, vamos utilizar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar um conjunto gerador para o espaço nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
-3 & 6 & -1 & 1 & -7 & | & 0 1 & -2 & 2 & 3 & -1 & | & 0 2 & -4 & 5 & 8 & -4 & | & 0

Passo 3

Nosso objetivo é simplificar essa matriz até a forma escalonada por linhas, onde podemos identificar as variáveis livres e variáveis pivô. Vamos começar eliminando os termos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.

Passo 4

Primeiro, vamos trocar a primeira linha pela segunda para facilitar a eliminação:
1 & -2 & 2 & 3 & -1 & | & 0 -3 & 6 & -1 & 1 & -7 & | & 0 2 & -4 & 5 & 8 & -4 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos eliminar os termos da primeira coluna nas linhas 2 e 3. Para a linha 2:
Linha2 = Linha2 + 3 times Linha1
Para a linha 3:
Linha3 = Linha3 - 2 times Linha1
Após essas operações, a matriz fica:
1 & -2 & 2 & 3 & -1 & | & 0 0 & 0 & 5 & 10 & -10 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & | & 0

Passo 6

Em seguida, vamos simplificar a terceira linha. Podemos observar que a terceira linha é uma múltipla da segunda. Vamos dividir a segunda linha por 5:
Linha2 = 15 times Linha2 Rightarrow 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & | & 0
Agora, a matriz fica:
1 & -2 & 2 & 3 & -1 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & | & 0

Passo 7

Subtraindo a segunda linha da terceira, eliminamos a duplicação:
Linha3 = Linha3 - Linha2 Rightarrow 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
A matriz simplificada é:
1 & -2 & 2 & 3 & -1 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 8

Agora, vamos expressar as equações correspondentes às linhas não nulas:
Identificamos que , e são variáveis livres porque não possuem pivôs.

Passo 9

Vamos expressar as variáveis dependentes ( x3 = -2x4 + 2x5 e x1 - 2x2 + 2(-2x4 + 2x5) + 3x4 - x5 = 0 x1 - 2x2 -4x4 +4x5 +3x4 -x5 = 0 x1 - 2x2 -x4 +3x5 = 0 x1 = 2x2 + x4 -3x5 ) em função das variáveis livres:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Agora, expressamos todas as variáveis em termos das livres:
x1 = 2x2 + x4 -3x5 x2 = x2 x3 = -2x4 + 2x5 x4 = x4 x5 = x5
Podemos escrever a solução vetorial como:
x1 x2 x3 x4 x5 = x2 2 1 0 0 0 + x4 1 0 -2 1 0 + x5 -3 0 2 0 1

Resposta

Um conjunto gerador para o espaço nulo é formado pelos vetores:
2 1 0 0 0 , 1 0 -2 1 0 , -3 0 2 0 1

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