Determine um conjunto gerador para o espaço nulo do sistema de equações a seguir:

Passo 1

Vamos resolver um sistema de equações lineares para encontrar o espaço nulo desse sistema. Isso significa que queremos descobrir todas as combinações de variáveis que satisfazem as equações dadas. Para isso, vamos utilizar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar um conjunto gerador para o espaço nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

Nosso objetivo é simplificar essa matriz até a forma escalonada por linhas, onde podemos identificar as variáveis livres e variáveis pivô. Vamos começar eliminando os termos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.

Passo 4

Primeiro, vamos trocar a primeira linha pela segunda para facilitar a eliminação:

Passo 5

Agora, vamos eliminar os termos da primeira coluna nas linhas 2 e 3. Para a linha 2:
Para a linha 3:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Em seguida, vamos simplificar a terceira linha. Podemos observar que a terceira linha é uma múltipla da segunda. Vamos dividir a segunda linha por 5:
Agora, a matriz fica:

Passo 7

Subtraindo a segunda linha da terceira, eliminamos a duplicação:
A matriz simplificada é:

Passo 8

Agora, vamos expressar as equações correspondentes às linhas não nulas:
Identificamos que , e são variáveis livres porque não possuem pivôs.

Passo 9

Vamos expressar as variáveis dependentes ( e ) em função das variáveis livres:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Agora, expressamos todas as variáveis em termos das livres:
Podemos escrever a solução vetorial como:

Resposta

Um conjunto gerador para o espaço nulo é formado pelos vetores:

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c)
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.
c)
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Verifique se pertence a NulA.