Dado o vetor
, determinar o vetor paralelo a
que tenha:
a) sentido contrário ao de
e duas vezes o módulo de
;
b) o mesmo sentido de
e módulo 2
c) sentido contrário ao de
e módulo 4 .
a) sentido contrário ao de
b) o mesmo sentido de
c) sentido contrário ao de
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos o vetor
e precisamos encontrar um vetor paralelo a
que tenha sentido contrário ao de
e duas vezes o módulo de
. Para isso, vamos precisar entender o que significa um vetor paralelo, como calcular o módulo de um vetor e como alterar a direção e o tamanho de um vetor através de multiplicação por um escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor
. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando ao nosso vetor:
Passo 3
Queremos um vetor paralelo a
, ou seja, um vetor que é um múltiplo escalar de
. Vamos chamar esse vetor de
, onde
é um número real.
Passo 4
Como queremos que
tenha sentido contrário ao de
, o escalar
deve ser negativo. Além disso, queremos que o módulo de
seja duas vezes o módulo de
:
Sabemos que:
Portanto:
Simplificando, temos:
Como
é negativo:
Passo 5
Agora, multiplicamos o vetor
pelo escalar
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. Desejamos encontrar um vetor paralelo a
que tenha o mesmo sentido de
e módulo igual a 2. Precisamos usar conceitos similares aos da parte a), ajustando o escalar para atender aos novos requisitos.
Passo 7
Primeiro, lembramos que o módulo do vetor
é
. Queremos que o vetor resultante
tenha módulo 2.
Passo 8
Novamente,
será um múltiplo escalar de
:
Como queremos o mesmo sentido,
deve ser positivo.
Passo 9
Aplicando a condição do módulo:
Portanto:
Passo 10
Multiplicamos o vetor
por
:
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
Passo 11
Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício. Precisamos determinar um vetor paralelo a
que tenha sentido contrário ao de
e módulo igual a 4. Usaremos os conceitos de vetores paralelos, magnitude e multiplicação por escalar novamente.
Passo 12
Sabemos que o módulo de
é
. Queremos que o vetor resultante
tenha módulo 4.
Passo 13
Como
deve ser paralelo e ter sentido contrário, ele será um múltiplo escalar negativo de
:
com
.
Passo 14
Aplicando a condição do módulo:
Portanto:
Como
é negativo:
Passo 15
Multiplicamos o vetor
por
:
Racionalizando o denominador:
Resposta
O vetor paralelo a
com sentido contrário e módulo igual a 4 é
.