Dado o vetor , determinar o vetor paralelo a que tenha:
a) sentido contrário ao de e duas vezes o módulo de ;
b) o mesmo sentido de e módulo 2
c) sentido contrário ao de e módulo 4 .
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos o vetor e precisamos encontrar um vetor paralelo a que tenha sentido contrário ao de e duas vezes o módulo de . Para isso, vamos precisar entender o que significa um vetor paralelo, como calcular o módulo de um vetor e como alterar a direção e o tamanho de um vetor através de multiplicação por um escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor . O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando ao nosso vetor:
Passo 3
Queremos um vetor paralelo a , ou seja, um vetor que é um múltiplo escalar de . Vamos chamar esse vetor de , onde é um número real.
Passo 4
Como queremos que tenha sentido contrário ao de , o escalar deve ser negativo. Além disso, queremos que o módulo de seja duas vezes o módulo de :
Sabemos que:
Portanto:
Simplificando, temos:
Como é negativo:
Passo 5
Agora, multiplicamos o vetor pelo escalar :
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. Desejamos encontrar um vetor paralelo a que tenha o mesmo sentido de e módulo igual a 2. Precisamos usar conceitos similares aos da parte a), ajustando o escalar para atender aos novos requisitos.
Passo 7
Primeiro, lembramos que o módulo do vetor é . Queremos que o vetor resultante tenha módulo 2.
Passo 8
Novamente, será um múltiplo escalar de :
Como queremos o mesmo sentido, deve ser positivo.
Passo 9
Aplicando a condição do módulo:
Portanto:
Passo 10
Multiplicamos o vetor por :
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
Passo 11
Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício. Precisamos determinar um vetor paralelo a que tenha sentido contrário ao de e módulo igual a 4. Usaremos os conceitos de vetores paralelos, magnitude e multiplicação por escalar novamente.
Passo 12
Sabemos que o módulo de é . Queremos que o vetor resultante tenha módulo 4.
Passo 13
Como deve ser paralelo e ter sentido contrário, ele será um múltiplo escalar negativo de :
com .
Passo 14
Aplicando a condição do módulo:
Portanto:
Como é negativo:
Passo 15
Multiplicamos o vetor por :
Racionalizando o denominador:
Resposta
O vetor paralelo a com sentido contrário e módulo igual a 4 é .