Dado o vetor v=(1,-3), determinar o vetor paralelo a v que tenha:
a) sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v;
b) o mesmo sentido de v e módulo 2
c) sentido contrário ao de v e módulo 4 .
i=(4,-3) (2,-6)

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos o vetor v = (1, -3) e precisamos encontrar um vetor paralelo a v que tenha sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v. Para isso, vamos precisar entender o que significa um vetor paralelo, como calcular o módulo de um vetor e como alterar a direção e o tamanho de um vetor através de multiplicação por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor v. O módulo de um vetor v = (x, y) é dado por:
|v| = raizx^2 + y^2
Aplicando ao nosso vetor:
|v| = raiz1^2 + (-3)^2 = raiz1 + 9 = raiz10

Passo 3

Queremos um vetor paralelo a v, ou seja, um vetor que é um múltiplo escalar de v. Vamos chamar esse vetor de w = k cdot v, onde k é um número real.

Passo 4

Como queremos que w tenha sentido contrário ao de v, o escalar k deve ser negativo. Além disso, queremos que o módulo de w seja duas vezes o módulo de v:
|w| = 2 cdot |v|
Sabemos que:
|w| = |k| cdot |v|
Portanto:
|k| cdot |v| = 2 cdot |v|
Simplificando, temos:
|k| = 2
Como k é negativo:
k = -2

Passo 5

Agora, multiplicamos o vetor v pelo escalar k:
w = -2 cdot (1, -3) = (-2 cdot 1, -2 cdot (-3)) = (-2, 6)

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. Desejamos encontrar um vetor paralelo a v = (1, -3) que tenha o mesmo sentido de v e módulo igual a 2. Precisamos usar conceitos similares aos da parte a), ajustando o escalar para atender aos novos requisitos.

Passo 7

Primeiro, lembramos que o módulo do vetor v é raiz10. Queremos que o vetor resultante w tenha módulo 2.

Passo 8

Novamente, w será um múltiplo escalar de v:
w = k cdot v
Como queremos o mesmo sentido, k deve ser positivo.

Passo 9

Aplicando a condição do módulo:
|w| = k cdot |v| = 2
Portanto:
k = 2|v| = 2raiz10

Passo 10

Multiplicamos o vetor v por k:
w = 2raiz10 cdot (1, -3) = (2raiz10, -6raiz10)
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
w = (2raiz1010, -6raiz1010) = (raiz105, -3raiz105)

Passo 11

Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício. Precisamos determinar um vetor paralelo a v = (1, -3) que tenha sentido contrário ao de v e módulo igual a 4. Usaremos os conceitos de vetores paralelos, magnitude e multiplicação por escalar novamente.

Passo 12

Sabemos que o módulo de v é raiz10. Queremos que o vetor resultante w tenha módulo 4.

Passo 13

Como w deve ser paralelo e ter sentido contrário, ele será um múltiplo escalar negativo de v:
w = k cdot v
com k < 0.

Passo 14

Aplicando a condição do módulo:
|w| = |k| cdot |v| = 4
Portanto:
|k| = 4|v| = 4raiz10
Como k é negativo:
k = -4raiz10

Passo 15

Multiplicamos o vetor v por k:
w = -4raiz10 cdot (1, -3) = (-4raiz10, 12raiz10)
Racionalizando o denominador:
w = (-4raiz1010, 12raiz1010) = (-2raiz105, 6raiz105)

Resposta

O vetor paralelo a v com sentido contrário e módulo igual a 4 é w = (-dfrac2raiz105, dfrac6raiz105).

Exercícios relacionados

Para quais valores de k in R, o sistema lx-y=3 2 x-2 y=k não admite solução? Resp.: forall k neq 6.
Verifique, em cada caso, se U é um subespaço vetorial do R^2.
b) U=(x, y) mid-x+3 y=0
Sabendo que a área do quadrilátero formado pelos pontos (k,-2),(1,2),(-5,6) e (7,-4) é zero, encontre o valor de k .
Em relação as matrizes abaixo encontre os autovalores e autovetores em relação ao corpo, K.
(b) (ccc6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3) onde K=C