Sabendo que a área do quadrilátero formado pelos pontos (k,-2),(1,2),(-5,6) e (7,-4) é zero, encontre o valor de k .

Passo 1

Então, a gente tem um quadrilátero formado pelos pontos (k,-2), (1,2), (-5,6) e (7,-4). A questão diz que a área desse quadrilátero é zero. Vamos usar a fórmula da área de um polígono no plano cartesiano, conhecida como fórmula de Shoelace, para resolver isso. Precisamos encontrar o valor de k que faz a área ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a fórmula de Shoelace. Ela serve para calcular a área de qualquer polígono cujos vértices estão no plano cartesiano. A fórmula é:
Área = 12 | sumi=1^n (xi yi+1 - xi+1 yi) | Á
Onde (xn+1, yn+1) é igual a (x1, y1) para fechar o polígono.

Passo 3

Vamos organizar os pontos na ordem dada: (k,-2), (1,2), (-5,6), (7,-4) e de volta a (k,-2). Agora, vamos multiplicar as coordenadas cruzadas:
(k)(2) + (1)(6) + (-5)(-4) + (7)(-2)
E subtrair:
(-2)(1) + (2)(-5) + (6)(7) + (-4)(k)

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
Primeira soma:
k times 2 + 1 times 6 + (-5) times (-4) + 7 times (-2) = 2k + 6 + 20 - 14 = 2k + 12
Segunda soma:
(-2) times 1 + 2 times (-5) + 6 times 7 + (-4) times k = -2 -10 + 42 -4k = 30 -4k

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da área:
Área = 12 | (2k + 12) - (30 - 4k) | = 12 |2k + 12 -30 +4k| = 12 |6k -18| Á

Passo 6

A área é zero, então:
12 |6k -18| = 0
Isso significa que:
|6k -18| = 0 implies 6k -18 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação:
6k -18 = 0 implies 6k = 18 implies k = 3

Resposta

O valor de k é 3.

Exercícios relacionados