Sabendo que a área do quadrilátero formado pelos pontos e é zero, encontre o valor de k .
Passo 1
Então, a gente tem um quadrilátero formado pelos pontos , , e . A questão diz que a área desse quadrilátero é zero. Vamos usar a fórmula da área de um polígono no plano cartesiano, conhecida como fórmula de Shoelace, para resolver isso. Precisamos encontrar o valor de que faz a área ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a fórmula de Shoelace. Ela serve para calcular a área de qualquer polígono cujos vértices estão no plano cartesiano. A fórmula é:
Onde (xn+1, yn+1) é igual a (x1, y1) para fechar o polígono.
Passo 3
Vamos organizar os pontos na ordem dada: (k,-2), (1,2), (-5,6), (7,-4) e de volta a (k,-2). Agora, vamos multiplicar as coordenadas cruzadas:
(k)(2) + (1)(6) + (-5)(-4) + (7)(-2)
E subtrair:
(-2)(1) + (2)(-5) + (6)(7) + (-4)(k)
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
Primeira soma:
k times 2 + 1 times 6 + (-5) times (-4) + 7 times (-2) = 2k + 6 + 20 - 14 = 2k + 12
Segunda soma:
(-2) times 1 + 2 times (-5) + 6 times 7 + (-4) times k = -2 -10 + 42 -4k = 30 -4k