Verifique, em cada caso, se U é um subespaço vetorial do R^2.
b) U=(x, y) mid-x+3 y=0

Passo 1

Então, temos o conjunto no espaço vetorial . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as condições que deve satisfazer para ser considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob a adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob a multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se -0 + 3 cdot 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 contém o vetor zero:
Substituindo -x1 + 3y1 = 0 e -x2 + 3y2 = 0 e -(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = 0 na equação -x + 3y = 0 :
- (c x) + 3(c y) = 0
Então, o vetor está em .
2. Verificando se é fechado sob a adição:
Sejam e em . Então:
Somando as duas equações:
Isso mostra que também satisfaz a equação dada, ou seja, está em .
3. Verificando se é fechado sob a multiplicação por escalar:
Seja em e um escalar. Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso mostra que também satisfaz a equação dada, ou seja, está em .

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são atendidas, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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