Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial do
.
b)
b)
Passo 1
Então, temos o conjunto
no espaço vetorial
. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as condições que
deve satisfazer para ser considerado como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob a adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob a multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
Substituindo
e
na equação
:
Então, o vetor
está em
.
2. Verificando se
é fechado sob a adição:
Sejam
e
em
. Então:
Somando as duas equações:
Isso mostra que
também satisfaz a equação dada, ou seja,
está em
.
3. Verificando se
é fechado sob a multiplicação por escalar:
Seja
em
e
um escalar. Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso mostra que
também satisfaz a equação dada, ou seja,
está em
.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são atendidas, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Dados três vetores
e
em
, suponha que todos os três vetores satisfazem as seguintes propriedades:
e
. Se o ângulo entre A e B é
, encontre o ângulo entre B e C .
Encontrar o vetor unitário que tenha: I) o mesmo sentido de
e II) sentido contrário a
nos casos:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Para quais valores de
, o sistema
não admite solução? Resp.:
.
Dado o vetor
, determinar o vetor paralelo a
que tenha:
a) sentido contrário ao de e duas vezes o módulo de
;
b) o mesmo sentido de e módulo 2
c) sentido contrário ao de e módulo 4 .
a) sentido contrário ao de
b) o mesmo sentido de
c) sentido contrário ao de