Em relação as matrizes abaixo encontre os autovalores e autovetores em relação ao corpo, .
(b) onde K=C
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada sobre o conjunto dos números complexos, . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são autovalores e autovetores. Autovalores são scalars que satisfazem a equação , onde é a matriz, e é o autovetor correspondente, um vetor não nulo. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver o polinômio característico da matriz .
Passo 3
Vamos montar o polinômio característico da matriz det(A - lambdaI) = 0 . Isso é feito calculando o determinante de A = 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3 , onde A - lambdaI = 6 - lambda & -3 & -2 4 & -1 - lambda & -2 10 & -5 & -3 - lambda é a matriz identidade:
A matriz é:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para 2^3 -2(2)^2 -2 +10 = 8 -8 -2 +10 = 8 são os divisores de 10 divididos pelos divisores de 1, ou seja, 1 -2 -1 +10 = 8 neq 0 .
Testando -1 -2 +1 +10 = 8 neq 0 :
125 -50 -5 +10 = 80 neq 0
Não é zero.
Testando :
Testando :
Testando :
Agora, vamos tentar algum valor complexo ou usar técnicas de fatoração.
Passo 8
Como não encontramos raízes racionais, vamos usar o método de fatoração ou a fórmula de Cardano para encontrar as raízes cúbicas.
No entanto, para simplificar, vamos supor que as raízes são complexas e resolver numericamente ou deixar a resposta em termos fatorados.