Dado o vetor v=(1,0,-4), determine as coordenadas do vetor de módulo 6 que possui mesma direção e mesmo sentido de v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um vetor v = (1, 0, -4) e precisamos encontrar outro vetor que tenha a mesma direção e sentido que v, mas que tenha um módulo (comprimento) igual a 6. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, como módulo e escalonamento.

Passo 2

O primeiro passo para resolver é calcular o módulo do vetor original v. O módulo de um vetor v = (a, b, c) é dado pela fórmula:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando essa fórmula ao nosso vetor:
|v| = raiz1^2 + 0^2 + (-4)^2 = raiz1 + 0 + 16 = raiz17
Então, o módulo de v é raiz17.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um fator de escala que ajusta o módulo do vetor original para o módulo desejado, que é 6. Chamaremos esse fator de k. A relação entre os módulos é:
k cdot |v| = 6
Substituindo o valor de |v|:
k cdot raiz17 = 6 k = 6raiz17
Então, o fator de escala k é 6raiz17.

Passo 4

Com o fator de escala k encontrado, podemos multiplicar cada componente do vetor original v por k para obter o novo vetor com o módulo desejado. Assim:
u = k cdot v = (1 cdot 6raiz17, 0 cdot 6raiz17, -4 cdot 6raiz17) = (6raiz17, 0, -24raiz17)
Podemos também racionalizar o denominador, se preferir:
u = (6raiz1717, 0, -24raiz1717)

Resposta

As coordenadas do vetor de módulo 6 que possui a mesma direção e sentido de v são (6raiz1717, 0, -24raiz1717).

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