Sejam os vetores u=[r-1 3 1 3] e v=[r3 1 2 -1] em R^4. Para qual(quais) valor(es) de k o vetor w=[r-3 k -7 -7] é uma combinação linear de u e v ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para qual valor de -3 k -7 -7 o vetor -1 3 1 3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 3 1 2 -1 e no espaço . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que w = au + bv é uma combinação linear de e se existirem escalares e tais que:
Isso significa que cada componente de é igual à combinação correspondente das componentes de e .

Passo 3

Vamos escrever isso em termos das componentes dos vetores:

[
-3 k -7 -7 = a -1 3 1 3 + b 3 1 2 -1

a -1a + 3b = -3 3a + 1b = k 1a + 2b = -7 3a - 1b = -7
+
b
]
Isso se traduz no seguinte sistema de equações:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar os valores de - a + 3b = -3 Rightarrow a = 3b + 3 e (3b + 3) + 2b = -7 Rightarrow 5b + 3 = -7 Rightarrow 5b = -10 Rightarrow b = -2 que satisfazem as três primeiras equações e, em seguida, determinar . Vamos começar resolvendo o sistema formado pelas primeiras e terceira equações.
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:

Passo 5

Agora que temos a = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3 , vamos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:

Passo 6

Com 3(-3) + (-2) = -9 - 2 = -11 Rightarrow k = -11 e , podemos substituir esses valores na segunda equação para encontrar :

Passo 7

Para garantir que tudo está correto, vamos verificar se esses valores satisfazem a quarta equação:
3(-3) - (-2) = -9 + 2 = -7
Como ambos os lados da equação são iguais, nossos valores estão corretos.

Resposta

O valor de que torna uma combinação linear de e é .

Exercícios relacionados