Dado o vetor v=(1,3), determine o vetor paralelo a v que tenha: sentido contrário ao de v e módulo 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor paralelo ao vetor v = (1, 3) que tenha sentido contrário e módulo igual a 4. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, como paralelismo, módulo e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem paralelos. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo do outro. Isso quer dizer que podemos escrever um vetor como w = k cdot v, onde k é um número real chamado de escalar.

Passo 3

Agora, como queremos que o vetor w tenha sentido contrário ao de v, o escalar k precisa ser negativo. Além disso, sabemos que o módulo (ou comprimento) de w deve ser 4.

Passo 4

Vamos calcular o módulo do vetor v. O módulo de um vetor v = (a, b) é dado por:
|v| = raiza^2 + b^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|v| = raiz1^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10

Passo 5

Sabemos que:
|w| = |k| cdot |v|
Queremos que |w| = 4, então:
4 = |k| cdot raiz10 Rightarrow |k| = 4raiz10 Rightarrow k = -4raiz10
(O negativo porque o sentido é contrário.)

Passo 6

Agora, vamos multiplicar o vetor v pelo escalar k para encontrar w:
w = k cdot v = -4raiz10 cdot (1, 3) = (-4raiz10, -12raiz10)

Resposta

O vetor procurado é w = (-dfrac4raiz10, -dfrac12raiz10).

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