Dado o vetor v=(1,-3) determine o vetor paralelo a v que tenha
(a) sentido contrário de v e duas vezes módulo de v
(b) o mesmo sentido de v e módulo de 4 .
(Dica: (a) -2 v (b) 4 cdot v|v| )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor v = (1, -3) e precisamos encontrar dois vetores que são paralelos a v:
a) Um vetor que tenha sentido contrário ao de v e o dobro do seu módulo.
b) Um vetor que tenha o mesmo sentido de v e módulo igual a 4.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores como multiplicação por escalar e magnitude (ou módulo) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor v. A magnitude de um vetor v = (x, y) é dada por:
|v| = raizx^2 + y^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|v| = raiz1^2 + (-3)^2 = raiz1 + 9 = raiz10

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte a): encontrar um vetor paralelo a v que tenha sentido contrário e duas vezes o módulo de v.
Para mudar o sentido de um vetor, multiplicamos ele por um escalar negativo. Nesse caso, queremos que o módulo seja duas vezes o de v, então multiplicamos por -2:
u = -2 cdot v = -2 cdot (1, -3) = (-2 cdot 1, -2 cdot (-3)) = (-2, 6)

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte b): encontrar um vetor paralelo a v que tenha o mesmo sentido e módulo igual a 4.
Para manter o mesmo sentido, não multiplicamos o vetor por um escalar negativo. Primeiro, encontramos o vetor unitário na direção de v, que é v|v|:
uunitário = v|v| = ( 1raiz10, -3raiz10 ) á
Então, multiplicamos o vetor unitário pelo módulo desejado, que é 4:
u = 4 cdot uunitário = 4 cdot ( 1raiz10, -3raiz10 ) = ( 4raiz10, -12raiz10 ) á
Podemos racionalizar a expressão, se preferirmos:
u = ( 4raiz1010, -12raiz1010 ) = ( 2raiz105, -6raiz105 )

Resposta

a) O vetor paralelo a v com sentido contrário e duas vezes o módulo de v é u = (-2, 6).
b) O vetor paralelo a v com o mesmo sentido e módulo igual a 4 é u = ( 2raiz105, -6raiz105 ).

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