Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1. Calcule
(a) (u-3 v) cdot u
(b) |u+v|
© (3 u+4 v) cdot(2 u-5 v)
(Dica: usar distributividade, comutatividade do produto interno e u cdot u= |u|^2 )

Passo 1

Beleza! A gente tem dois vetores, com módulo 2 e com módulo 3, e o produto escalar . Vamos usar propriedades do produto escalar, como distributividade e comutatividade, além de lembrar que . Agora, vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

(a) Calculando (u - 3v) cdot u = u cdot u - 3v cdot u :
Primeiro, aplicamos a distributividade do produto escalar:
u cdot u = |u|^2 = 2^2 = 4
Sabemos que:
v cdot u = u cdot v = -1
4 - 3(-1) = 4 + 3 = 7
Substituindo esses valores:

Passo 3

(b) Calculando |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) :
Para encontrar o módulo da soma de dois vetores, usamos a fórmula:
|u + v|^2 = u cdot u + 2u cdot v + v cdot v
Aplicando a distributividade:
u cdot u = 4, v cdot v = 9, u cdot v = -1
Sabendo que:
4 + 2(-1) + 9 = 4 - 2 + 9 = 11
Substituindo:
|u + v| = raiz11
Então:

Passo 4

© Calculando (3u + 4v) cdot (2u - 5v) = 3u cdot 2u + 3u cdot (-5v) + 4v cdot 2u + 4v cdot (-5v) :
Primeiro, aplicamos a distributividade do produto escalar:
= 6(u cdot u) - 15(u cdot v) + 8(v cdot u) - 20(v cdot v)
Simplificando:
= 6(4) - 15(-1) + 8(-1) - 20(9)
Substituindo os valores conhecidos:
= 24 + 15 - 8 - 180
= 39 - 188 = -149

Resposta

(a)
(b)
©

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