Esboce o gráfico e determine a excentricidade da elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico e determinarmos a excentricidade da elipse dada pela equação
. Vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e precisaríamos rearranjar a equação para a forma padrão da elipse para facilitar nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral de uma elipse é:
Onde
é o centro da elipse,
é o semieixo maior e
é o semieixo menor.
Passo 3
Nossa equação original é
. Para chegar na forma padrão, vamos dividir todos os termos por 12:
Simplificando:
Para facilitar, podemos escrever
como
:
Passo 4
Agora, identificamos os valores de
e
. Lembrando que
está sob o termo com o maior denominador:
Passo 5
A excentricidade
de uma elipse é dada por:
Onde
é a distância do centro até cada foco, e está relacionado por:
Vamos calcular
:
Então:
Passo 6
Agora, calculamos a excentricidade:
Resposta
A excentricidade da elipse
é
.