Esboce o gráfico e determine a excentricidade da elipse 6 x^2+8 y^2=12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico e determinarmos a excentricidade da elipse dada pela equação . Vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e precisaríamos rearranjar a equação para a forma padrão da elipse para facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral de uma elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse, é o semieixo maior e é o semieixo menor.

Passo 3

Nossa equação original é 6x^212 + 8y^212 = 1212 . Para chegar na forma padrão, vamos dividir todos os termos por 12:
x^22 + y^21.5 = 1
Simplificando:
x^22 + y^232 = 1
Para facilitar, podemos escrever como :

Passo 4

Agora, identificamos os valores de a^2 = 2 Rightarrow a = raiz2 e b^2 = 32 Rightarrow b = raiz32 = raiz62 . Lembrando que está sob o termo com o maior denominador:

Passo 5

A excentricidade e = ca de uma elipse é dada por:
c^2 = a^2 - b^2
Onde c^2 = 2 - 32 = 42 - 32 = 12 é a distância do centro até cada foco, e está relacionado por:
c = raiz12 = raiz22
Vamos calcular :
Então:

Passo 6

Agora, calculamos a excentricidade:
e = ca = raiz22raiz2 = 12

Resposta

A excentricidade da elipse é .

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